6、拓扑稳定的动态 k 中心问题研究

拓扑稳定的动态 k 中心问题研究

1. 引言

在许多实际应用场景中，我们常常会遇到需要解决 k 中心问题的情况。所谓 k 中心问题，也被称为设施选址问题，它的目标是找到一组 k 个圆盘，使其能够覆盖平面上给定的 n 个点，并且这些圆盘的半径尽可能小。这个问题可以形象地理解为，要在平面上放置 k 个设施（比如商店），让每个点（比如客户）到最近设施的距离最小。

自 1857 年该问题被提出以来，它得到了广泛的研究，并在实际中找到了众多应用。不过，当 k 作为输入的一部分时，k 中心问题属于 NP 难题。但对于固定的小 k 值，已经有了一些高效的算法。例如，在使用曼哈顿距离时，对于 k = 2、3 的情况，问题可以在 O(n) 时间内解决；对于 k = 4、5 的情况，可在 O(n log n) 时间内解决。而在欧几里得距离下，问题变得更加复杂，目前已知的欧几里得 2 中心问题的最佳算法时间复杂度为 O(n log²n(log log n)²)。

近年来，随着研究的深入，计算几何领域对输入点处于移动状态的问题产生了浓厚兴趣，k 中心问题也不例外。这类问题通常在动态数据结构的框架下进行研究，其目标是在点移动的过程中，高效地维护问题的（最优）解。动态版本的 k 中心问题在移动网络和机器人技术等领域有着大量的实际应用。

然而，在动态环境中，稳定性成为了一个重要的考量因素。在很多实际应用里，比如圆盘在物理上有实际表示，或者用于可视化时，要求圆盘随着点的平滑移动而平滑移动。但最优的 k 中心解可能会随着点的移动出现不连续的变化，所以为了保证稳定性，我们不得不采用近似解。

一种自然且直观的保证稳定性的方法是，假设点以单位速度（最多）移动，并限制圆盘的移动速度