13、两种混合元启发式算法求解最小支配集问题

两种混合元启发式算法求解最小支配集问题

1 引言

最小支配集（MDS）问题是一个NP难问题，在无线通信、信息检索、设施选址等领域有广泛应用。例如在无线通信中，可用于网络聚类和骨干网构建；在信息检索里，能减少查询时间。

1.1 相关概念

• 支配集（DS） ：对于图 $G = (V, E)$，其支配集 $S \subseteq V$ 需满足图中每个节点 $v \in V$ 要么是 $S$ 的成员，要么与 $S$ 中的成员相邻。
• 最小支配集（MDS） ：即具有最小基数的支配集。

1.2 现有算法

• 贪心启发式算法 ：基于Chvatal的集合覆盖算法，它返回的解最多为 $(ln\Delta \times Opt)$，其中 $\Delta$ 是图中节点的最大度。该算法被证明是最优近似算法，除非 $P = NP$。其操作步骤如下：
  1. 初始时将所有节点标记为白色。
  2. 选择白色度最大的非黑色节点加入支配集，并将其标记为黑色，同时将其所有邻居标记为灰色。
  3. 重复步骤2，直到图中没有白色节点。
• 多项式时间近似方案（PTAS） ：仅适用于多项式有界增长图，如单位圆盘图，但对于高连通性或大型图不太实用。
• 混合遗传算法（文献[4]） ：原算法存在一些问题，