15、幺正信道与优超化：理论与应用解析

幺正信道与优超化：理论与应用解析

1. 幺正信道的基本性质

在量子信息理论中，幺正信道是一类重要的量子操作。对于任意信道 $\Phi \in C(X)$，这里 $X$ 是一个复欧几里得空间，它必然存在至少一个密度算符不动点，即存在一个密度算符 $\rho \in D(X)$ 使得 $\Phi(\rho) = \rho$。这一结论可以通过 Brouwer 不动点定理得出，但由于信道是线性映射，我们可以给出一个更简单的证明。

考虑一个正的且保迹的映射 $\Phi \in T(X)$，对于每个非负整数 $n$，定义映射 $\Psi_n \in T(X)$ 为：
[
\Psi_n(X) = \frac{1}{2^n} \sum_{k = 0}^{2^n - 1} \Phi^k(X)
]
同时定义集合 $C_n = { \Psi_n(\rho) : \rho \in D(X) }$。由于 $\Phi$ 是线性、正的且保迹的，所以 $\Psi_n$ 也具有这些性质，进而 $C_n$ 是 $D(X)$ 的一个紧致凸子集。并且，对于任意 $\rho \in D(X)$，有 $\Psi_{n + 1}(\rho) = \frac{1}{2} \Psi_n(\rho) + \frac{1}{2} \Psi_n(\Phi^{2^n}(\rho)) \in C_n$，这意味着 $C_{n + 1} \subseteq C_n$。

因为每个 $C_n$ 都是紧致的，且 $C_{n + 1} \subseteq C_n$ 对所有 $n$ 成立，所以必然存在一个元素 $\rho$ 包含在所有这些集合的交集中，即 $\rho \in C_0 \cap C_1 \cap \