12、量子通道的距离与区分：从诱导迹范数到完全有界迹范数

量子通道的距离与区分：从诱导迹范数到完全有界迹范数

1. 引言

在量子信息领域，量子态和量子通道的区分是一个重要的研究课题。迹范数为量子态之间的距离提供了一种度量，并且与量子态的区分任务密切相关。本文将探讨量子通道的距离和区分问题，引入诱导迹范数和完全有界迹范数，并分析它们的性质以及在通道区分任务中的应用。

2. 通道区分任务

2.1 通道区分场景

考虑以下场景：设 $X$ 和 $Y$ 是寄存器，$Z$ 是具有经典状态集 ${0, 1}$ 的寄存器。$Z$ 被视为经典寄存器，而 $X$ 和 $Y$ 是任意的。假设有两个通道 $\Phi_0, \Phi_1 \in C(X, Y)$ 以及一个实数 $\lambda \in [0, 1]$，且 $\Phi_0$、$\Phi_1$ 和 $\lambda$ 对 Alice 和 Bob 都是已知的。
- Alice 以概率 $\lambda$ 将寄存器 $Z$ 制备为状态 $0$，以概率 $1 - \lambda$ 将其制备为状态 $1$。
- Alice 从 Bob 处接收寄存器 $X$，并根据 $Z$ 的经典状态执行以下两个操作之一：
- 如果 $Z = 0$，Alice 根据 $\Phi_0$ 的作用将 $X$ 转换为 $Y$。
- 如果 $Z = 1$，Alice 根据 $\Phi_1$ 的作用将 $X$ 转换为 $Y$。
- 然后，Alice 将寄存器 $Y$ 交给 Bob。
- Bob 的目标是通过与 Alice 的交互来确定 $Z$ 的经典状态。

2.2 Bob 的策略

Bob 可以采用以下两种策