8、线性时间解决 r - 聚集问题的算法探究

线性时间解决 r - 聚集问题的算法探究

在实际的设施分配与聚类问题中，r - 聚集问题是一个重要的研究方向。当我们放松问题条件，假设设施可以放置在二维平面的任意点上时，就形成了 r - 聚集聚类问题。该问题旨在将平面上的点集 C 划分为若干个簇，每个簇至少包含 r 个客户，并且要使得所有簇的最大半径最小。这个问题在一般情况下是 NP 完全的，不过已经有一些近似算法被提出。

问题背景与目标

当点集 C 和设施集 F 都位于一条直线上时，前人已经提出了三种解决方案，但都无法达到线性时间复杂度。我们的目标是找到一种线性时间的解决方案，即设计一个时间复杂度为 O(|C| + |F|) 的算法。为了实现这个目标，我们将逐步改进算法，从简单的高时间复杂度算法开始，通过一系列引理的证明和中间算法的优化，最终达到线性时间复杂度。

O(|F| + |C|² log |F|) 时间复杂度的解决方案

首先，我们假设 C = {c₁, c₂, c₃, …, cₙ} 和 F = {f₁, f₂, f₃, …, fₘ} 是水平直线上从左到右排序的点集。这里有两个重要的引理：
- 引理 1 ：存在一个最优解，其中每个设施被分配给 C 中连续的客户簇。
- 引理 2 ：对于 C 中连续的点序列 cₐ, cₐ₊₁, …, c_b，将这些点分配给簇中心最近的设施时，Cost(a, b)（将这些点最优地分配给单个设施的最小成本）将达到最小。

基于这些引理，我们可以定义前缀成本 PrefixCost(i) 为服务客户 {c₁, c₂, c₃, …, cᵢ} 的最小成本，且每个设施