43、量子信息理论与信道描述详解

量子信息理论与信道描述详解

1. 量子信息理论基础

在量子信息理论中，有两个关键概念起着核心作用：密度矩阵和迹算子。

1.1 密度矩阵

密度矩阵是描述量子系统的重要工具。一个 $n×n$ 的方阵 $A$，如果对于每个向量 $\psi$，$\psi A \psi$ 都是非负实数，那么 $A$ 就是半正定矩阵。若 $A = A^{\dagger}$（即 $A$ 是厄米矩阵）且其特征值 ${\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n}$ 都是非负实数，它也是半正定的。而每个密度矩阵都是半正定的，对于任意向量 $\varphi$，有：
$\varphi \rho \varphi = \sum_{i = 1}^{n} p_i \varphi \psi_i \psi_i \varphi = \sum_{i = 1}^{n} p_i |\varphi \psi_i|^2 \geq 0$

密度矩阵 $\rho$ 可以描述系统为可能已知状态（纯态）的概率混合，其表达式为：
$\rho = \sum_{i} p_i \psi_i \psi_i$
其中，$\psi_i$ 是第 $i$ 个系统状态，以经典概率 $p_i$ 出现。对于纯态 $\psi$，密度矩阵为 $\rho = \psi \psi$，矩阵的秩等于 1。例如，经典状态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是纯态，像 $\frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle)$ 这样的叠加态也是纯态。需要注意的是，叠加态是由概率振幅加权的正交基态的量子线性组合，而混合态是由经典概率加权的纯叠加态（量子态）的经