2、图轮廓实现及其在社交网络中的应用

图轮廓实现及其在社交网络中的应用

在社交网络分析中，图的轮廓实现是一个重要的研究领域，它涉及到根据特定的规则和条件来构建满足要求的图结构。以下将详细介绍几种基于顶点度数的满意度概念及其对应的图实现情况。

1. 相关理论推导

在某些情况下，通过数学推导可以得出一些关于图顶点数量和度数的结论。例如，有以下推导过程：
[
(n - k + \delta)^2 = (n - k)^2 + 2\delta(n - k) + \delta^2 \geq \delta n
]
对其进行开方和重新整理后，可得：
[
n - k \geq \sqrt{\delta}\sqrt{n} - \delta
]
对于常数 $\epsilon$，当且仅当集合 $A$ 中高排名顶点的数量满足 $n - k = \Omega(\sqrt{n})$ 时，特定的规范才是可实现的。特别地，当 $\epsilon = \frac{1}{2}$ 时，$\delta = 1$。这意味着为了确保每个顶点 $i$ 至少有一半的邻居排名为 $k$ 或更高，排名为 $k$ 或更高的顶点数量至少为 $\sqrt{n} - 1$，而 $\sqrt{n} + 1$ 个这样的顶点就足够了。

2. 基于度数的满意度概念

接下来将介绍几种基于顶点度数的满意度概念，并分析其对应的图实现情况。

2.1 绝对度数满意度（HD(k)）

在这种情况下，顶点 $i$ 若其度数至少为 $k$ 则被认为是满意的。该轮廓可以用一个对 $\langle n, \ell \rangle$ 来表示，其中 $n \geq