5、线性算子与矩阵：电路与滤波器分析的数学基石

线性算子与矩阵：电路与滤波器分析的数学基石

在电路与滤波器的研究领域，线性概念是解决复杂问题的基础。只有掌握了线性模型、电路和滤波器理论，才有可能进一步攻克非线性问题。然而，很多工程师在记忆矩阵求逆或解方程组等过程时，往往忽略了问题的本质和相关知识。本文将深入探讨线性算子和矩阵的相关知识，为电路和滤波器的分析提供坚实的数学基础。

1. 向量空间与域

域（Field）是一个非空集合，包含两种二元运算：加法和乘法，并且满足一系列性质，如结合律、交换律、分配律、存在单位元和逆元等。常见的域包括实数域 (R)、复数域 (C)、实系数有理函数域 (R(s)) 和二进制数域。而整数集 (Z) 在常规的加法和乘法运算下不构成域，而是形成一个交换环。

向量空间（Vector Space）是基于域定义的非空集合，具有向量加法和标量乘法两种运算，并满足一定的公理。例如，所有 (n) 元组的集合 ((v_1, v_2, \ldots, v_n))（其中 (n > 0) 且 (v_i \in F)）以及次数小于 (n) 的实系数多项式集合都是向量空间的例子。向量空间中的元素称为向量，域中的元素称为标量。

判断一组向量是否线性相关或线性独立是向量空间中的重要概念。如果存在不全为零的标量使得向量的线性组合为零向量，则这组向量线性相关；反之，则线性独立。例如，((1, 0)) 和 ((0, 1)) 是线性独立的，而 ((1, 0, 0))、((0, 1, 0)) 和 ((1, 1, 0)) 在实数域 (R) 上是线性相关的。

当一组向量既能够张成向量空间，又线性独立时，这组向量就构成了向量空间的一组基（Basis）。基中向量的个数称为向量空间的维数（Dimensi