最佳节点的选取--第一类Tchebyshev多项式

最近在准备复习qualify，打算时不时更一些复习的重要知识点。
在数值分析中，通过多项式逼近函数有如下的多项式插值误差定理：
定理1
设$f\in C^{n+1}[a,b]$，多项式$p$是$f$在不同节点$x_0,x_1,\cdots, x_n$上的插值多项式，$deg\, p \le n$。则对$[a,b]$中每个$x$,都有$\xi_x\in (a,b)$使得

$$f(x)-p(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_x)\Pi_{i=0}^n(x-x_i)$$
证明：
当x与某个节点重合的时候显然成立。对于其他情形，固定x，令

ϕ