Moreau-Yosida 正则化和近似算子(proximal operator)

强凸函数（strongly convex)：$f$ 凸函数且存在常数$c>0$,使得

$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)-\frac{1}{2}\lambda(1-\lambda)||x-y||^2$$
定义函数
$$\phi(x,y)=f(y)+\frac{1}{2}||x-y||^2$$
易验证 $\psi_f$是关于 $y$的强凸函数.

Moreau-Yosida 正则化函数：$\psi_f(x)=\min_y f(y)+\frac{1}{2}||x-y||^2$

Theorem 1$f$是凸函数，那么存在唯一的$y$ 使得ψf(x)=f(y)+12