标准正交基

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本文探讨了在计算最佳逼近元时选择标准正交基的原因，包括稳定性考虑和定理证明。标准正交基通过Gram-Schmidt正交化过程可以将一般基转换，并引入了正交多项式概念，如Legendre、Tchebyshev和Jacobian多项式，它们在特定内积定义下形成正交序列。

计算最佳逼近元的时候，为什么要选取标准正交基？
1 根据幂基计算最佳逼近元，计算过程的稳定性不好；
2 下面的定理说明标准正交基的优势：

定理1
设G的标准正交基为{ g1,g2,⋯,gn},f∈E,则g=∑ni=1cigi为f在E中的最佳逼近当且仅当ci=⟨f,gi⟩
证明：
g=∑ni=1cigi为f在E中的最佳逼近当且仅当f−g⊥G
当且仅当f−g⊥g</

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Liang_Ling
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非常好的问题！ ## 一、标准正交基（Orthonormal Basis）的定义 在**线性代数**中，**标准正交基**是指一组**两两正交**且**模长为1**的向量，它们可以张成一个向量空间，并且构成该空间的一组基。 ### 数学定义： 设 $ \{e_1, e_2, \dots, e_n\} $ 是向量空间 $ \mathbb{R}^n $ 或 $ \mathbb{C}^n $ 中的一组向量。 这组向量是标准正交基，当且仅当满足以下两个条件： 1. **正交性**（Orthogonality）： $$ e_i \cdot e_j = 0 \quad \text{当 } i \neq j $$ 2. **单位长度**（Normalization）： $$ \|e_i\| = 1 \quad \text{对所有 } i $$ 换句话说，对于任意 $ i, j $，有： $$ e_i \cdot e_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ne j \end{cases} $$ --- ## 二、标准正交基的性质 1. **线性无关**：标准正交基的向量之间线性无关。 2. **可构成基底**：它们可以张成整个空间，是该空间的一组基。 3. **坐标表示简单**：若一个向量 $ v $ 在标准正交基 $ \{e_1, ..., e_n\} $ 下的表示为： $$ v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n $$ 则系数 $ a_i = v \cdot e_i $ --- ## 三、标准正交基的例子 ### 1. 二维欧几里得空间 $ \mathbb{R}^2 $ 中的标准正交基： $$ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ - 正交性：$ e_1 \cdot e_2 = 0 $ - 单位长度：$ \|e_1\| = \|e_2\| = 1 $ ### 2. 三维空间 $ \mathbb{R}^3 $ 的标准正交基： $$ e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ --- ## 四、如何构造标准正交基？——Gram-Schmidt 正交化法 给定一组线性无关的向量 $ \{v_1, v_2, \dots, v_n\} $，Gram-Schmidt 方法可以构造出一组标准正交基 $ \{e_1, e_2, \dots, e_n\} $。步骤如下： 1. **正交化**： $$ u_1 = v_1 \\ u_2 = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2) \\ u_3 = v_3 - \text{proj}_{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3) \\ \dots $$ 2. **单位化**： $$ e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|} $$ --- ## 五、Python 实现 Gram-Schmidt 正交化 ```python import numpy as np def gram_schmidt(vectors): basis = [] for v in vectors: # 正交化 w = v.copy() for u in basis: w -= np.dot(v, u) / np.dot(u, u) * u # 单位化 if np.linalg.norm(w) > 1e-10: # 避免零向量 w /= np.linalg.norm(w) basis.append(w) return np.array(basis) # 示例 vectors = np.array([ [1, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 1] ], dtype=float) orthonormal_basis = gram_schmidt(vectors) print("标准正交基：") print(orthonormal_basis) # 检查正交性 for i in range(len(orthonormal_basis)): for j in range(i+1, len(orthonormal_basis)): print(f"e{i+1} ⋅ e{j+1} = {np.dot(orthonormal_basis[i], orthonormal_basis[j]):.2f}") ``` --- ## 六、应用场景 1. **主成分分析（PCA）**：用于降维，构造正交基以最大化方差。 2. **傅里叶变换**：将信号分解为正交的正弦/余弦函数。 3. **图像压缩（如 JPEG）**：使用正交变换（如 DCT）进行编码。 4. **量子力学**：态矢量通常在标准正交基下表示。 5. **神经网络**：如正交初始化（Orthogonal Initialization）用于缓解梯度消失。 --- ###
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