回收锥（recession cone）

由于我们主要研究凸函数$f$,方法是以研究上境图$epi\, f$ 来代替直接的函数上的研究。而上境图的一个很普遍的特性是，它通常是无界的，所以我们要研究集合在无穷远处的情况。

定义
设$D$是一个方向，$C$是一个凸集（无界），称$C$在$D$方向上是回收的，如果$C$包含以$C$中点为起点以$D$为方向的半直线。
i.e.
$C$方向$y\neq 0$上是回收的，当且仅当对$\forall x\in C,\lambda \ge 0$,都有$x+\lambda y\in C$。
很明显，$C$的所有回收方向加上0向量构成一个锥（我们这里把0加上是为了这个锥是闭的），这个锥叫做$C$的回收锥，记为$0^+C$.
在描述回收锥的一个等价刻画后，我们说明这个记号的背景。

定理1.
设$C$是一个非空的凸集，那么$0^+C$是一个包含原点的凸锥；它是所有满足下面条件的方向$y$的集合：

$$C+y\subset C$$
证明：
第一个结论就是定义以及验证凸性。
我们只证明第二个结论：
设 $y\in 0^+C$，则对 ∀x∈C,x+y∈C,i.