243. 一个简单的整数问题2（线段树，懒标记，树状数组，《算法竞赛进阶指南》）

https://www.acwing.com/problem/content/244/

给定一个长度为 N 的数列 A，以及 M 条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1. C l r d，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。
2. Q l r，表示询问数列中第 l∼r 个数的和。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数 N,M。

第二行 N 个整数 A[i]。

接下来 M 行表示 M 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

1≤N,M≤105
|d|≤10000
|A[i]|≤109

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

输出样例：

4
55
9
15

解析： 

线段数做法（懒标记）：

进行区间操作时如果当前节点包含在区间内就直接更新，否则递归到子节点

区间修改需要用到懒标记，就是这段区间要加几先记录下来，要用到区间内部的信息时再下推到子节点

带懒标记的线段树可以在O(logn)的时间复杂度内完成各种区间操作

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL Mod = 1e9;
const int N = 1e5 + 10, M = 250 + 10, P = 110;
int n, m;
LL w[N];
struct Node {
	int l, r;
	LL sum, add;
}tr[N * 4];

void pushup(int u) {
	tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

void pushdown(int u) {
	Node& root = tr[u], & l = tr[u << 1], & r = tr[u << 1 | 1];
	if (root.add) {
		l.sum +=(LL) (l.r - l.l + 1) * root.add, l.add += root.add;
		r.sum += (LL)(r.r - r.l + 1) * root.add, r.add += root.add;
		root.add = 0;
	}
}

void build(int u, int l, int r) {
	if (l == r) {
		tr[u] = { l,l,w[l],0 };
	}
	else {
		tr[u] = { l,r };
		int mid = l + r >> 1;
		build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
		pushup(u);
	}
}

void modify(int u, int l, int r, int d) {
	if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
		tr[u].sum += (tr[u].r - tr[u].l + 1) * d;
		tr[u].add += d;
	}
	else {
		pushdown(u);
		int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
		if (l <= mid)modify(u << 1, l, r, d);
		if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, d);
		pushup(u);
	}
}

LL query(int u, int l, int r) {
	if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
		return tr[u].sum;
	}
	else {
		pushdown(u);
		int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
		LL ret = 0;
		if (l <= mid)ret += query(u << 1, l, r);
		if (r > mid)ret += query(u << 1 | 1, l, r);
		pushup(u);
		return ret;
	}
}

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &w[i]);
	}
	build(1, 1, n);
	char op[2];
	int l, r, d;
	while (m--) {
		scanf("%s", op);
		if (op[0] == 'C') {
			scanf("%d%d%d", &l, &r, &d);
			modify(1, l, r, d);
		}
		else {
			scanf("%d%d", &l, &r);
			printf("%lld\n", query(1, l, r));
		}
	}
	return 0;
}

 树状数组：

算前x个数的和时，差分后的第i(0<i<=x)个数加了x-i+1次

再定义一个数组B，B[i]=(A[i]-A[i-1])*i，c2为B的树状数组

求前缀和时返回c1[i]*(x+1)-c2[i]

神奇的事情出现了：

c1[i]*(x+1)中i往前lowbit(i)个数都被加了x+1次，

c2[i]中i往前lowbit(i)个数分别被加了下标次，

下标为j的数正好会被加x-j+1次

 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL Mod = 1e9;
const int N = 1e5 + 10, M = 250 + 10, P = 110;
int n, m;
int a[N];
LL tr1[N], tr2[N];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(LL tr[], int x, LL d) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        tr[i] += d;
}

LL sum(LL tr[], int x) {
    LL ret = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))ret += tr[i];
    return ret;
}

LL pre_sum(int x) {
    return sum(tr1, x) * (x + 1) - sum(tr2, x);
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        add(tr1, i,(LL) a[i] - a[i - 1]);
        add(tr2, i, (LL)i * (a[i] - a[i - 1]));
    }
    while (m--) {
        char op[2];
        scanf("%s", op);
        if (op[0] == 'C') {
            int l, r, d;
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &d);
            add(tr1, l, (LL) d),add(tr1,r+1,(LL)(-d));
            add(tr2, l, (LL) l* d),add(tr2, r + 1, (LL)(r + 1) *(-d));
        }
        else {
            int l, r;
            scanf("%d%d", &l, &r);
            printf("%lld\n", pre_sum(r)-pre_sum(l-1));
        }
    }
    return 0;
}