线段树-懒标记详解

首先，我们可以想到用线段树来做这道题。不会告诉你其实我不会树状数组

数据太大就会超时，怎么办？这样就要引出我们的好帮手懒标记了！

一个支持区间修改的线段树, 就要用到lazy标记. 用到哪一个结点, 有效数据就更新到哪一个结点, 避免浪费更新那些不必要的结点的时间. 从根部向下找一个结点, 一路下来根据lazy的设定进行相关的更新操作, 就能快速完成任务.

下面就示范一组样例：

8 2

3 3 3 3 3 3 3 3

1 2 7 1

2 3

相信大家对线段树已经有了一定的了解（没了解过的看这里洛谷日报4）那我们就开始构造线段树，如图：

这就是基本的线段树了，然后开始进行第一步，从2到7，一次给区间加上1：

来解释这一幅图，首先看我们存线段树的下标1，L（左节点）=1，R（右节点）=8，没有被包含且懒标记=0，所以取中点mid=(1+8)/2=4,查找左右子树。

来到左子树2，L=L(father’s)，R=mid(father’s)，没有被完全包含且懒标记=0，所以继续查找左右子树。

来到2的左子树4，没有被包含且懒标记=0，所以查找左右子树，因为左子树的右节点大于2，所以不进入。来到右子树9，被包含，所以dis[9]+=1，懒标记+=1，返回。

返回到2，查找右子树5，被包含，所以dis[5]+=(4-3+1)* 1，懒标记+=1，返回。

回到1，查找右节点3……以此类推，dis[6]+=(6-5+1)* 1,懒标记+=1;dis[14]+=1,懒标记+=1;

这样，区间修改就完成了。

来到第二步，查找3：

从1开始找到2，在找到5，发现有懒标记，所以把懒标记下传到10和11, dis[10]+=1;懒标记[10]+=1;dis[11]+=1,懒标记[11]+=1,懒标记[5]=0; 到10，L=R=3，return dis[10];查询就完成了。

可能有人会说懒标记看起来没有什么用，但数据一旦很大，递归传递就显得尤为方便，可以为我们节省很多时间。

接下来是对代码的详细讲解：

初始化：

struct Tree{
    long long l,r;//l:左节点 r:右节点 
    long long dat,laze_tag;//dat:当前节点的值 laze_tag:懒标记，记录改变的值，递归传值 
}t[2000001];//四倍n 

然后是我们的懒标记传递：

inline void f(long long p,long long k){
    t[p].laze_tag+=k;//懒标记传递 
    t[p].dat+=k*(t[p].r-t[p].l+1);//当前值加上所有节点总数*值 
} 
inline void pushdown(long long p){
    f(p*2,t[p].laze_tag);
    f(p*2+1,t[p].laze_tag);
    //将懒标记的值传给下面的左右儿子节点
    t[p].laze_tag=0;//复原懒标记 
}

（下面会有再查找和修改时的懒标记处理）

开始先要构造我们的线段树

void js(int p,int l,int r){//建树 
    t[p].l=l;t[p].r=r;//记录左右节点 
    if(l==r){//到达底部返回值 
        t[p].dat=a[l];return;
    }
    long long mid=(l+r)/2;//中点 
    js(p*2,l,mid);
    js(p*2+1,mid+1,r);
    //递归初始化 
    t[p].dat=t[p*2].dat+t[p*2+1].dat;
    //加上左右儿子节点 
}

第二步，就要写我们的区间加减了

void pushs(long long p,long long l,long long r,long long v){//区间加减 
    if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r){//如果区间被包含就修改并打上懒标记 
        t[p].dat+=v*(t[p].r-t[p].l+1);//加上所有值 
        t[p].laze_tag+=v;//懒标记修改 
        return;
    }
    pushdown(p);//查询懒标记，因为下面要递归 
    long long mid=(t[p].r+t[p].l)/2;//取中点 
    if(l<=mid)pushs(p*2,l,r,v);//修改左边 
    if(r>mid) pushs(p*2+1,l,r,v);//修改右边 
    t[p].dat=t[p*2].dat+t[p*2+1].dat;//回溯时加上左右儿子节点的值 
}

最后是最容易的单点查询

long long outt(long long p,long long l){//单点查询 

    if(t[p].l==l&&t[p].r==l)return t[p].dat;//找到目标点就返回 
    pushdown(p);//先回复懒标记的值再传递，因为下面可能递归（要判断是否到了底部，就是这里出了问题QwQ）
    long long mid=(t[p].l+t[p].r)/2;//记录中点 
    if(l<=mid)return outt(p*2,l);//找左边 
    if(l>mid)return outt(p*2+1,l);//找右边 
}

看完了，那就贴上完整的代码啦！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m;//n:长度 m: 询问 
long long a[500001];
struct Tree{
    long long l,r;//l:左节点 r:右节点 
    long long dat,laze_tag;
}t[2000001];
inline long long read(){
    long long f=1,outt=0;char a=getchar();
    while(a>'9'||a<'0'){if(a=='-')f=-1;a=getchar();}
    while(a<='9'&&a>='0'){outt*=10;outt+=a-'0';a=getchar();}
    return f*outt;
}//读入优化 
inline void f(long long p,long long k){
    t[p].laze_tag+=k;
    t[p].dat+=k*(t[p].r-t[p].l+1);
} 
inline void pushdown(long long p){
    f(p*2,t[p].laze_tag);
    f(p*2+1,t[p].laze_tag);
    t[p].laze_tag=0;
}
void js(int p,int l,int r){
    t[p].l=l;t[p].r=r;
    if(l==r){
        t[p].dat=a[l];return;
    }
    long long mid=(l+r)/2;//中点 
    js(p*2,l,mid);
    js(p*2+1,mid+1,r);
    t[p].dat=t[p*2].dat+t[p*2+1].dat;
}
long long outt(long long p,long long l){
    if(t[p].l==l&&t[p].r==l)return t[p].dat;
    pushdown(p);
    long long mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
    if(l<=mid)return outt(p*2,l);
    if(l>mid)return outt(p*2+1,l);
}
void pushs(long long p,long long l,long long r,long long v){
    if(t[p].l>=l&&t[p].r<=r){
        t[p].dat+=v*(t[p].r-t[p].l+1);
        t[p].laze_tag+=v;
        return;
    }
    pushdown(p);
    long long mid=(t[p].r+t[p].l)/2;
    if(l<=mid)pushs(p*2,l,r,v); 
    if(r>mid) pushs(p*2+1,l,r,v);
    t[p].dat=t[p*2].dat+t[p*2+1].dat;
}
void change(long long p,int x,int v){//单点修改，不必在意，是区间修改的子问题，连标记都不用(而且本题不需要)
    if(t[p].l==t[p].r){
        t[p].dat+=v;return;
    }
    int mid=(t[p].r+t[p].l)/2;
    if(x<=mid)change(p*2,x,v);
    else change(p*2+1,x,v);
    t[p].dat=t[p*2].dat+t[p*2+1].dat;
}
int main(){
    n=read();m=read();//读入 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    js(1,1,n);//建树 
    for(int i=1;i<=m;i++){
        long long pd=read();
        if(pd==2){
            long long ll=read();
            printf("%lld\n",outt(1,ll));//查询ll的值 
        }
        else 
        if(pd==1){
            long long ll=read(),rr=read(),x=read();
            pushs(1,ll,rr,x);//修改从ll到rr的值加上x 
        }
        else
        if(pd==3){
            int k=read(),y=read();
            change(1,k,y);
        }
    }
    return 0;//华丽丽的结束，可以A掉树状数组2了！！！ 
}