带懒标记的线段树讲解 + 例题AcWing 243. 一个简单的整数问题2

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#算法 #数据结构

于 2022-02-16 23:08:12 首次发布

这篇博客介绍了在线段树中如何利用懒惰标记（延迟标记）来优化区间修改操作，确保每次ask查询和modify修改指令的时间复杂度为O(logN)。在区间修改时，通过设置懒标记避免了不必要的子节点更新，而在后续查询中才进行必要的信息传递。文章通过实例展示了线段树节点的数据结构、pushdown函数以及modify和ask函数的实现细节，最后提供了一段完整的C++代码示例来说明这个方法的应用。

算法介绍

在线段树的 “ask区间查询” 指令中，每当遇到被询问区间[L,r] 完全覆盖的节点 时，可以立即把 该节点上存储的信息 作为候选答案返回。可以证明，被询问区间[L,r]在线段树上会被分成O(log N)个小区间(节点),从而在 O(log N)的时间内求出答案。

不过，在 “modify区间修改” 指令中，如果某个节点被修改区间[L,r]完全覆盖，那么以 该节点为根 的 整棵子树 中的 所有节点存储的信息 都会发生变化,如果 逐一更新,将使得 一次区间修改指令 的 时间复杂度 增加到O(N)，时间复杂度太高，这是我们不能接受的。

试想，如果我们在 一次修改指令 中发现 节点p 代表的区间[pl, pr] 被 指定modify 的区间[l,r] 完全覆盖，并且 逐一更新 了子树p 中的所有节点，但是在之后的查询指令中却 根本没有用到[l,r]的子区间作为候选答案，那么更新 p 的整棵子树就是徒劳的。