2173. Dinic/ISAP求最小割（最大流，最小割，DinicI/SAP）

活动 - AcWing

给定一个包含 n 个点 m 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 S 到点 T 的最小割。

输入格式

第一行包含四个整数 n,m,S,T。

接下来 m 行，每行三个整数 u,v,c，表示从点 u 到点 v 存在一条有向边，容量为 c。

点的编号从 1 到 n。

输出格式

输出点 S 到点 T 的最小割。

如果从点 S 无法到达点 T 则输出 0。

数据范围

2≤n≤10000,
1≤m≤100000,
0≤c≤10000,
S≠T

输入样例：

7 14 1 7
1 2 5
1 3 6
1 4 5
2 3 2
2 5 3
3 2 2
3 4 3
3 5 3
3 6 7
4 6 5
5 6 1
6 5 1
5 7 8
6 7 7

输出样例：

14

解析： 

基本概念
1.1 流网络，不考虑反向边
1.2 可行流，不考虑反向边
1.2.1 两个条件：容量限制、流量守恒
1.2.2 可行流的流量指从源点流出的流量 - 流入源点的流量
1.2.3 最大流是指最大可行流
1.3 残留网络，考虑反向边，残留网络的可行流f’ + 原图的可行流f = 原题的另一个可行流
(1) |f’ + f| = |f’| + |f|
(2) |f’| 可能是负数
1.4 增广路径
1.5 割
1.5.1 割的定义
1.5.2 割的容量，不考虑反向边，“最小割”是指容量最小的割。
1.5.3 割的流量，考虑反向边，f(S, T) <= c(S, T)
1.5.4 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| = f(S, T)
1.5.5 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| <= c(S, T)
1.5.6 最大流最小割定理
(1) 可以流f是最大流
(2) 可行流f的残留网络中不存在增广路
(3) 存在某个割[S, T]，|f| = c(S, T)
1.6. 算法
1.6.1 EK O(nm^2)
1.6.2 Dinic O(n^2m)
1.7 应用
1.7.1 二分图
(1) 二分图匹配
(2) 二分图多重匹配
1.7.2 上下界网络流
(1) 无源汇上下界可行流
(2) 有源汇上下界最大流
(3) 有源汇上下界最小流
1.7.3 多源汇最大流

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/424558/
来源：AcWing
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有最大流最小割定理知：最大流等于最小割 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<map>
#include<sstream>
#include<deque>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e4+5, M = 1e5 * 2 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], cur[N];

void add(int a, int b, int c) {
	e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
	e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx++;
}

bool bfs() {
	int hh = 0, tt = 0;
	memset(d, -1, sizeof d);
	q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
	while (hh <= tt) {
		int t = q[hh++];
		for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
			int j = e[i];
			if (d[j] == -1 && f[i]) {
				d[j] = d[t] + 1;
				cur[j] = h[j];
				if (j == T)return 1;
				q[++tt] = j;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int find(int u, int limit) {
	if (u == T)return limit;
	int flow = 0;
	for (int i = cur[u]; i != -1 && flow < limit; i = ne[i]) {
		int j = e[i];
		cur[u] = i;
		if (d[j] == d[u] + 1 && f[i]) {
			int t = find(j, min(f[i], limit - flow));
			if (!t)d[j] = -1;
			f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
		}
	}
	return flow;
}

int dinic() {
	int ret = 0, flow;
	while (bfs())while (flow = find(S, INF))ret += flow;
	return ret;
}

int main() {
	cin >> n >> m >> S >> T;
	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 1,a,b,c; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a, b, c);
	}
	printf("%d\n", dinic());
	return 0;
}