最大流/最小割算法总结

1。基本定理：最小割集的流量之和=网络中的最大流。

这个定理说明，当网络达到最大流时，会有一个割集，这个割集中的所有边都达到饱和状态。

这等价于在网络中再也找不到一个从s到t的增广路径。

因为只要能找到一条增广路径，这条增广路径肯定要经过最小割集中的一条边，否则这个割集就不能称之为割集了。

既然这个割集中所有的边都饱和了，因此也就不会存在这样的增广路径了。

这个定理的意义在于给我们指明了方向：

任何算法，只要最后能达到“再也找不到一条增广路径”，就可以说明这个算法最后达到了最大流。

 

2。

解决最大流问题的常用到Ford-Fulkerson方法，之所以称其方法而不是算法，是因为在这种思想下包含着若干种时间复杂度不同的实现，其中较多地是使用Edmonds-Karp算法。与此相对，Push-relabel算法采用了与Ford-Fulkerson方法完全不同的思考角度，降低了渐进意义下的时间复杂度。而relabel-to-front算法则是对Push-relabel算法的改良和精炼，效率更佳。

关于这三种常用算法的时间复杂度可见下表：（其中V表示图的顶点数，E表示边数）

算法名称	Edmonds-Karp算法	一般性的push-relabel算法	relabel-to-front算法
时间复杂度	O(V*E^2)	O(V^2*E)	O(V^3)

可以看出，当给定的有向图比较稀疏时，三种算法的效率不会相差太多，但当网络稠密时，relabel-to-front算法在效率上有着明显的优势。

 

这几种算法可以参见《算法导论》里有详细的证明。

第一种思路（Ford-Fulkerson）是不断地找一条增广路径，然后算出这个增广路径里的最小允许通过的流，然后在source上加入这个流量。

也就是说不断小心翼翼地加入流量，使之最终饱和。

 

 

第二种思路（push-relable）是先加入充足的流(跟s相连的所有边的容量之和)，加入之后呢，再慢慢一个边一个边的向汇点渗透。直到没法再渗透（找不到增广路径了），那么这时再把一些剩余的流回收到source就可。

 

 

3。求最大流和求最小割集是两类不同的算法。

4。求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法