最近公共祖先（LCA）主要算法：

1）向上标记法：

从x向上走到根节点，并标记所有经过的节点。

从y向上走到根节点，当第一次遇到已标记的节点时，就找到了LCA（x,y）.

2）树上倍增法：

[1]先将两个点跳到同一层

[2]让两个点同时往上跳，一直跳到它们的最近公共祖先的下一层。

树上倍增法是一个很重要的算法。除了求LCA之外，他在很多问题中都有广泛应用。设F[x,k]表示x的2^k倍祖先，即从x走向根节点走2^k步到达的节点。特别地，若该节点不存在，则令F[x,y]=0。F[x,0]就是x的父节点。除此之外，任意k属于[1,logn],F[x,k]=F[F[x,k-1],k-1]。

这类似于一个动态规划的过程，“阶段”就是节点的深度。因此，我们可以对树进行广度优先遍历，按照层次顺序，在节点入队之前，计算它在F数组中相应的值。

以上部分处理是预处理，时间复杂度是O(nlogn),之后可以多次对不同的x,y计算LCA，每次询问的时间复杂度为O(logn)

基于F数组的计算LCA(x,y)分为以下几步。

1.设d[x]表示x的深度。不妨设d[x]>=d[y]（否则可交换x,y）

2.用二进制拆分思想，把x向上调整到于y同一深度。具体来说，就是依次尝试从x向上走k=2^(logn)，……，2^1,2^0步，检查到达节点是否比y深。每次检查中，若是，则令x=F[x,y]。

3.若此时x==y，说明已经找到了LCA，LCA就等于y。

4.用二进制思想拆分，把x,y同时向上调整，并保持深度一致且二者不会相同。具体来说，就是一次尝试把x,y同时向上走k=2^(logn)，……，2^1,2^0步，若F[x,k]!=F[y,k]（即仍未相会），则令x=F[x,k],y=F[y,k]。

5.此时x，y必定只差一步就相会了，它们的父节点F[x,0]就是LCA。

3）LCA的Tarjan算法

Tarjan算法本质上是使用并查集对“向上标记法”的优化。它是一个离线算法，需要把m个询问一次性读入，统一计算，最后统一输出。时间复杂度O（n+m）。

在深度遍历的任意时刻，树中的节点分为三类。

1.已经访问完毕并且回溯的节点。在这些节点上标记一个整数2.

2.已经开始递归，但尚未回溯的节点。这些节点就是当前正在访问的节点x以及x的祖先。在这些节点上标记一个整数1.

3.尚未访问的节点。这些节点没有标记。

对于正在访问的节点x，它到根节点的路径已经标记为1。若y是已经访问完毕并且回溯的节点，则LCA（x,y）就是从y向上走到根，第一个遇到的标记为1的节点。

可以利用并查集进行优化，当一个节点获得整数2的标记时，把它所在的集合合并到它的父节点所在的集合中（合并时它的父节点标记一定为1，且单独构成一个集合）。

这相当于每个完成回溯的节点都有一个指针指向它的父节点，只需查询y所在集合代表元素（并查集的get操作），就等价于从y向上一直走到一个开始递归但尚未回溯的节点（具有标记1），即LCA（x，y）。

在回溯点x之前，扫描所有与x相关的所有询问，若询问中的另一个点y的标记为2，就知道了该询问的回答应该是y在并查集中的代表元素（并查集中find(y)函数的结果）

1171. 距离（离线求LCA：tarjan算法）-优快云博客

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参考至算法进阶竞赛指南。