本文总结了网上关于威尔逊定理的证明，用逻辑更通顺的数学语言表述出来，仅供参考
威尔逊定理
ppp 为质数⟺(p−1)!≡−1(mod p)\Longleftrightarrow(p-1)!\equiv -1(\mod p)⟺(p−1)!≡−1(modp)
证明：
- 必要性：
(p−1)!≡−1(mod p)⟺p∣(p−1)!+1(p-1)!\equiv -1(\mod p)\Longleftrightarrow p|(p-1)!+1(p−1)!≡−1(modp)⟺p∣(p−1)!+1
假设 ppp 不是质数，且 aaa 是 ppp 的质因子。
易知a∣(p−1)!a|(p-1)!a∣(p−1)!，则a∤(p−1)!+1a\nmid(p-1)!+1a∤(p−1)!+1
而p∣(p−1)!+1⟹a∣(p−1)!+1p|(p-1)!+1\Longrightarrow a|(p-1)!+1p∣(p−1)!+1⟹a∣(p−1)!+1，前后矛盾！
故 ppp 一定为质数。
关于充分性的证明，如果直接看证明的话，容易一脸懵逼。如果带着证明思路看，可能会好得多。证明思路如下：证明集合{2,3,⋯ ,p−2}\{2,3,\cdots,p-2\}{2,3,⋯,p−2}中存在两两配对的元素a,ba,ba,b，有ab≡1(mod p)ab\equiv1(\mod p)ab≡1(modp)。即(p−2)!≡1(mod p)(p-2)!\equiv1(\mod p)(p−2)!≡1(modp)，又p−1≡−1(mod p)p-1\equiv-1(\mod p)p−1≡−1(modp)，所以有(p−1)!≡−1(mod p)(p-1)!\equiv-1(\mod p)(p−1)!≡−1(modp)
- 充分性：
当 p=2p = 2p=2 时，(p−1)!≡−1(mod p)(p-1)!\equiv -1(\mod p)(p−1)!≡−1(modp)显然成立。
当 p=3p = 3p=3 时，(p−1)!≡−1(mod p)(p-1)!\equiv -1(\mod p)(p−1)!≡−1(modp)显然成立。
当p≥5p\ge5p≥5时，令M={2,3,⋯ ,p−2},N={1,2,⋯ ,p−1}M=\{2,3,\cdots,p-2\},N=\{1,2,\cdots,p-1\}M={2,3,⋯,p−2},N={1,2,⋯,p−1}∀a∈M\forall a\in M∀a∈M，令S=a⋅N={a,2a,⋯ ,(p−1)a}S=a\cdot N=\{a,2a,\cdots,(p-1)a\}S=a⋅N={a,2a,⋯,(p−1)a} 注意∀t∈S,p∤t\forall t\in S,p\nmid t∀t∈S,p∤t
∴∀t1,t2∈S,t1<t2⟹t2−t1∈S⟹p∤(t2−t1)\therefore\forall t_1,t_2\in S,t_1<t_2\Longrightarrow t_2-t_1\in S\Longrightarrow p\nmid(t_2-t_1)∴∀t1,t2∈S,t1<t2⟹t2−t1∈S⟹p∤(t2−t1)
根据同余的定义可知，SSS中所有元素模ppp都不同余
∴Smod p=N\therefore S\mod p=N∴Smodp=N
也就是说∀a∈M,∃x∈N\forall a\in M,\exists x\in N∀a∈M,∃x∈N，一定有ax≡1(mod p)ax\equiv1(\mod p)ax≡1(modp)
若x=1x=1x=1，则ax%p=a%p=a,∴x≠1ax\%p=a\%p=a,\therefore x\ne1ax%p=a%p=a,∴x=1
若x=p−1x=p-1x=p−1，则
ax%p=(ap−a)%p=[(a−1)p+p−a]%p=p−a,∴x≠p−1ax\%p=(ap-a)\%p=[(a-1)p+p-a]\%p=p-a,\therefore x\ne p-1ax%p=(ap−a)%p=[(a−1)p+p−a]%p=p−a,∴x=p−1
若x=ax=ax=a，则
a2≡1(mod p)⟹(a+1)(a−1)≡0(mod p)a^2\equiv1(\mod p)\Longrightarrow(a+1)(a-1)\equiv0(\mod p)a2≡1(modp)⟹(a+1)(a−1)≡0(modp)
⟹a=1\Longrightarrow a=1⟹a=1 或 a=p−1∴x≠aa=p-1\therefore x\ne aa=p−1∴x=a
综上所述，∀a∈M,∃x∈M\forall a\in M,\exists x\in M∀a∈M,∃x∈M，且a≠xa\ne xa=x，有ax≡1(mod p)ax\equiv1(\mod p)ax≡1(modp)
所以(p−1)!≡1⋅(p−1)≡−1(mod p)(p-1)!\equiv1\cdot(p-1)\equiv-1(\mod p)(p−1)!≡1⋅(p−1)≡−1(modp)
证毕！
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