数论四大定理之威尔逊定理

本文总结了网上关于威尔逊定理的证明,用逻辑更通顺的数学语言表述出来,仅供参考

威尔逊定理

ppp 为质数⟺(p−1)!≡−1(mod  p)\Longleftrightarrow(p-1)!\equiv -1(\mod p)(p1)!1(modp)

证明:

  1. 必要性:
    (p−1)!≡−1(mod  p)⟺p∣(p−1)!+1(p-1)!\equiv -1(\mod p)\Longleftrightarrow p|(p-1)!+1(p1)!1(modp)p(p1)!+1
    假设 ppp 不是质数,且 aaappp 的质因子。
    易知a∣(p−1)!a|(p-1)!a(p1)!,则a∤(p−1)!+1a\nmid(p-1)!+1a(p1)!+1
    p∣(p−1)!+1⟹a∣(p−1)!+1p|(p-1)!+1\Longrightarrow a|(p-1)!+1p(p1)!+1a(p1)!+1,前后矛盾!
    ppp 一定为质数。

关于充分性的证明,如果直接看证明的话,容易一脸懵逼。如果带着证明思路看,可能会好得多。证明思路如下:证明集合{2,3,⋯ ,p−2}\{2,3,\cdots,p-2\}{2,3,,p2}中存在两两配对的元素a,ba,ba,b,有ab≡1(mod  p)ab\equiv1(\mod p)ab1(modp)。即(p−2)!≡1(mod  p)(p-2)!\equiv1(\mod p)(p2)!1(modp),又p−1≡−1(mod  p)p-1\equiv-1(\mod p)p11(modp),所以有(p−1)!≡−1(mod  p)(p-1)!\equiv-1(\mod p)(p1)!1(modp)

  1. 充分性:
    p=2p = 2p=2 时,(p−1)!≡−1(mod  p)(p-1)!\equiv -1(\mod p)(p1)!1(modp)显然成立。
    p=3p = 3p=3 时,(p−1)!≡−1(mod  p)(p-1)!\equiv -1(\mod p)(p1)!1(modp)显然成立。
    p≥5p\ge5p5时,令M={2,3,⋯ ,p−2},N={1,2,⋯ ,p−1}M=\{2,3,\cdots,p-2\},N=\{1,2,\cdots,p-1\}M={2,3,,p2},N={1,2,,p1}∀a∈M\forall a\in MaM,令S=a⋅N={a,2a,⋯ ,(p−1)a}S=a\cdot N=\{a,2a,\cdots,(p-1)a\}S=aN={a,2a,,(p1)a} 注意∀t∈S,p∤t\forall t\in S,p\nmid ttS,pt
    ∴∀t1,t2∈S,t1<t2⟹t2−t1∈S⟹p∤(t2−t1)\therefore\forall t_1,t_2\in S,t_1<t_2\Longrightarrow t_2-t_1\in S\Longrightarrow p\nmid(t_2-t_1)t1,t2S,t1<t2t2t1Sp(t2t1)
    根据同余的定义可知,SSS中所有元素模ppp都不同余
    ∴Smod  p=N\therefore S\mod p=NSmodp=N
    也就是说∀a∈M,∃x∈N\forall a\in M,\exists x\in NaM,xN,一定有ax≡1(mod  p)ax\equiv1(\mod p)ax1(modp)
    x=1x=1x=1,则ax%p=a%p=a,∴x≠1ax\%p=a\%p=a,\therefore x\ne1ax%p=a%p=a,x=1
    x=p−1x=p-1x=p1,则
    ax%p=(ap−a)%p=[(a−1)p+p−a]%p=p−a,∴x≠p−1ax\%p=(ap-a)\%p=[(a-1)p+p-a]\%p=p-a,\therefore x\ne p-1ax%p=(apa)%p=[(a1)p+pa]%p=pa,x=p1
    x=ax=ax=a,则
    a2≡1(mod  p)⟹(a+1)(a−1)≡0(mod  p)a^2\equiv1(\mod p)\Longrightarrow(a+1)(a-1)\equiv0(\mod p)a21(modp)(a+1)(a1)0(modp)
    ⟹a=1\Longrightarrow a=1a=1a=p−1∴x≠aa=p-1\therefore x\ne aa=p1x=a
    综上所述,∀a∈M,∃x∈M\forall a\in M,\exists x\in MaM,xM,且a≠xa\ne xa=x,有ax≡1(mod  p)ax\equiv1(\mod p)ax1(modp)
    所以(p−1)!≡1⋅(p−1)≡−1(mod  p)(p-1)!\equiv1\cdot(p-1)\equiv-1(\mod p)(p1)!1(p1)1(modp)

证毕!

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