Unity中的数学基础——贝塞尔曲线

一：前言 

一条贝塞尔曲线是由一组定义的控制点P0到 Pn，n=1为线性，n=2为二次......第一个和最后一个控制点称为起点和终点，中间的控制点一般不会位于曲线上 
获取两个点之间的点就是通过线性插值（ Mathf.Lerp），0 <= t <= 1

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二：贝塞尔曲线公式

——线性公式：给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出

——二阶贝塞尔曲线：二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）公式推导：由（P0，P1），（P1，P2）分别求线性公式所得的结果P0‘ 和 P1‘再带入线性公式，整理所得即为二次公式
P0，P1所求：

P1，P2所求：

P0，P1，P2二次方公式：

简化所得

——三阶贝塞尔曲线：P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
其公式为
 

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三：公式转换为代码

using UnityEngine;
using System.Collections.Generic;

/// <summary>
/// 贝塞尔工具类
/// </summary>
public static class BezierUtils
{
    /// <summary>
    /// 线性贝塞尔曲线
    /// </summary>
    public static Vector3 BezierCurve(Vector3 p0, Vector3 p1, float t)
    {
        Vector3 B = Vector3.zero;
        B = (1 - t) * p0 + t * p1;
        return B;
    }

    /// <summary>
    /// 二阶贝塞尔曲线
    /// </summary>
    public static Vector3 BezierCurve(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, float t)
    {
        Vector3 B = Vector3.zero;
        float t1 = (1 - t) * (1 - t);
        float t2 = 2 * t * (1 - t);
        float t3 = t * t;
        B = t1 * p0 + t2 * p1 + t3 * p2;
        return B;
    }

    /// <summary>
    /// 三阶贝塞尔曲线
    /// </summary>
    public static Vector3 BezierCurve(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float t)
    {
        Vector3 B = Vector3.zero;
        float t1 = (1 - t) * (1 - t) * (1 - t);
        float t2 = 3 * t * (1 - t) * (1 - t);
        float t3 = 3 * t * t * (1 - t);
        float t4 = t * t * t;
        B = t1 * p0 + t2 * p1 + t3 * p2 + t4 * p3;
        return B;
    }

    /// <summary>
    /// n阶贝塞尔曲线
    /// </summary>
    public static Vector3 BezierCurve(List<Vector3> pointList, float t)
    {
        Vector3 B = Vector3.zero;
        if (pointList == null)
        {
            return B;
        }
        if (pointList.Count < 2)
        {
            return pointList[0];
        }

        List<Vector3> tempPointList = new List<Vector3>();
        for (int i = 0; i < pointList.Count - 1; i++)
        {
            Vector3 tempPoint = BezierCurve(pointList[i], pointList[i + 1], t);
            tempPointList.Add(tempPoint);
        }
        return BezierCurve(tempPointList, t);
    }
}

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 四：绘制出曲线

  

using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class BezierTest : MonoBehaviour
{
    public int m_CurveDensity;//曲线密度
    public bool m_IsSecondOrderBezier;//是否为二阶贝塞尔曲线，否则为三阶贝塞尔曲线

    private List<Transform> m_ControlPointList = new List<Transform>();//所有的控制点（控制点作为挂载此脚本的游戏物体的子物体）

    public void OnDrawGizmos()
    {
        //添加控制点
        m_ControlPointList.Clear();
        foreach (Transform trans in transform)
        {
            m_ControlPointList.Add(trans);
        }

        List<Vector3> pointList = new List<Vector3>();//曲线上的所有点
        if (m_IsSecondOrderBezier)
        {
            if (m_ControlPointList.Count < 3)
            {
                return;
            }
            //获取曲线上的所有点
            for (int i = 0; i < m_ControlPointList.Count - 2; i += 2)
            {
                Vector3 p0 = m_ControlPointList[i].position;
                Vector3 p1 = m_ControlPointList[i + 1].position;
                Vector3 p2 = m_ControlPointList[i + 2].position;
                for (int j = 0; j <= m_CurveDensity; j++)
                {
                    float t = j * 1f / m_CurveDensity;
                    Vector3 point = BezierUtils.BezierCurve(p0, p1, p2, t);
                    pointList.Add(point);
                }
            }
        }
        else
        {
            if (m_ControlPointList.Count < 4)
            {
                return;
            }
            //获取曲线上的所有点
            for (int i = 0; i < m_ControlPointList.Count - 3; i += 3)
            {
                Vector3 p0 = m_ControlPointList[i].position;
                Vector3 p1 = m_ControlPointList[i + 1].position;
                Vector3 p2 = m_ControlPointList[i + 2].position;
                Vector3 p3 = m_ControlPointList[i + 3].position;
                for (int j = 0; j <= m_CurveDensity; j++)
                {
                    float t = j * 1f / m_CurveDensity;
                    Vector3 point = BezierUtils.BezierCurve(p0, p1, p2, p3, t);
                    pointList.Add(point);
                }
            }
        }

        //绘制所有点
        foreach (var point in pointList)
        {
            Gizmos.DrawSphere(point, 0.1f);
        }
        //绘制控制点连线
        Gizmos.color = Color.red;
        for (int i = 0; i < m_ControlPointList.Count - 1; i++)
        {
            Gizmos.DrawLine(m_ControlPointList[i].position, m_ControlPointList[i + 1].position);
        }
    }
}