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0-1 背包问题:给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。
问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?
分析一波,面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择,不能选择装入某物品的一部分,也不能装入同一物品多次。
解决办法:声明一个 大小为 m[n][c]的二维数组,m[i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ,那么我们可以很容易分析得出m[i][j] 的计算方法,
(1). j < w[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿
m[i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
(2). j>=w[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取,m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为j-w[i]时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿,m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同(1)
究竟是拿还是不拿,自然是比较这两种情况那种价值最大。
由此可以得到状态转移方程:
if(j>=w[i])
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
m[i][j]=m[i-1][j];
例:0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时,使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j,可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制
价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2},
重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1},
背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
2 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 18 | 18 | 18 |
3 | 0 | 6 | 6 | 8 | 8 | 14 | 14 | 16 | 16 | 18 | 18 | 24 |
4 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 14 | 14 | 17 | 17 | 19 | 19 | 24 |
5 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 14 | 14 | 17 | 17 | 19 | 21 | 24 |
6 | 2 | 6 | 8 | 9 | 11 | 14 | 16 | 17 | 19 | 19 | 21 | 24 |
(第一行和第一列为序号,其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品,背包容量为6时我们可以选择不拿,那么获得价值仅为第一件物品的价值8,如果拿,就要把第一件物品拿出来,放第二件物品,价值10,那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推,得到m[6][12]就是考虑所有物品,背包容量为C时的最大价值。
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=15;
int main()
{
int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};
int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};
int m[N][N];
int n=6,c=12;
memset(m,0,sizeof(m));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=c;j++)
{
if(j>=w[i])
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=c;j++)
{
cout<<m[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
return 0;
到这一步,可以确定的是可能获得的最大价值,但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。
另起一个 x[ ] 数组,x[i]=0表示不拿,x[i]=1表示拿。
m[n][c]为最优值,如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样,则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时,由x[n-1][c]继续构造最优解;当x[n]=1时,则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推,可构造出所有的最优解。(这段全抄算法书,实在不知道咋解释啊。。)
void traceback()
{
for(int i=n;i>1;i--)
{
if(m[i][c]==m[i-1][c])
x[i]=0;
else
{
x[i]=1;
c-=w[i];
}
}
x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}
例:
某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目,每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示,投资总额为30万元,如何选择项目才能使总收益最大?
Project | Wk | Vk |
A | 15 | 12 |
B | 10 | 8 |
C | 12 | 9 |
D | 8 | 5 |
结合前面两段代码
[
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[20][20],x[20]; ///定义为全局变量
void traceback(int n,int c,int w[])
{
for(int i=n;i>1;i--)
{
if(dp[i][c]==dp[i-1][c]) ///表示第 i 个和 第 i-1 个所能挑到的最大值相等
x[i]=0; ///表示此处 i 物品没有被挑选到
else{
x[i]=1; ///表示此处 i 物品被挑选到
c-=w[i]; /// 需减去当前的重量w[i]
}
}
x[1]=(dp[1][c]>0)?1:0; ///上面循环中没有判断1,只要>0就可以证明拿了
}
int main()
{
int v[]={0,8,10,6,3,7,2}; ///为便于读者阅读,初始化
int w[]={0,4,6,2,2,5,1};
int n=6,c=12;
memset(dp,0,sizeof(dp)); ///小提醒:只能赋0,或-1
for(int i=1;i<=n;i++) ///从第1个到第i个物品中挑选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值
{
for(int j=1;j<=c;j++)
{
if(j>=w[i])
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j]; ///表示跟前i-1个一样
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){ ///输出每种情况
for(int j=1;j<=c;j++)
printf("%d ",dp[i][j]);
putchar('\n');
}
printf("%d\n",dp[n][c]); ///总价值
traceback(n,c,w); ///我们可以找出到底是挑了哪几个物品
for(int i=1;i<=n;i++){
if(x[i]) printf("%d ",i);
}
putchar('\n');
return 0;
}
输出x[i]数组:0111,输出m[4][30]:22。
得出结论:选择BCD三个项目总收益最大,为22万元。
不过这种算法只能得到一种最优解,并不能得出所有的最优解。