01背包问题

01背包问题：

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

Type 1:

解决办法：声明一个 大小为  dp[n][c] 的二维数组，表示从第1个到第i个物品中挑选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值，那么我们可以很容易找出 它的状态转移方程：

dp[ i ] [ j ]= max(dp[i-1] [ j ],dp[i-1] [j-w[i ]]+v[ i ])  if ( j>=w[ i ])

dp[ i ] [ j ]=dp[ i-1 ][ j ];  if ( j<w[ i ] )

(1)       j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

dp[ i ][j ] = dp[ i-1 ][ j ].

(2)       j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，dp[i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的dp[ i-1 ][j-w[ i ] ]指的就是考虑了前i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，dp[ i ][ j ] = dp[ i-1][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int dp[20][20],x[20];
    int v[]={0,8,10,6,3,7,2}; ///为便于读者阅读，初始化
    int w[]={0,4,6,2,2,5,1};
    int n=6,c=12;

    memset(dp,0,sizeof(dp)); ///小提醒：只能赋0，或-1
    for(int i=1;i<=n;i++)  ///从第1个到第i个物品中挑选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
               dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            else
                dp[i][j]=dp[i-1][j]; ///表示跟前i-1个一样
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){  ///为方便理解，输出所有情况情况
       for(int j=1;j<=c;j++)
        printf("%d ",dp[i][j]);
        putchar('\n');
    }
    printf("%d\n",dp[n][c]); ///总价值
   return 0;

}

Type 2:

解决办法：声明一个 大小为  dp[n+1][c]的二维数组，表示从第1个到第i+1个物品中挑选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值(也可以看成从前往后推)，那么我们可以很容易找出 它的状态转移方程：

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int v[]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[]={0,4,6,2,2,5,1};
    int n=6,c=12;
    int dp[20][20];

   memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(inti=1;i<=n;i++)   ///从第1个到第i+1个物品中挑出总重量不超过j的物品时，总价值的最大值
    {
    for(intj=1;j<=c;j++){
           if(j<w[i]) dp[i+1][j]=dp[i][j];
            else dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
   printf("%d\n",dp[n+1][c]);
    return 0;
}

 

Type 3:

解决办法：声明一个 大小为  dp[ c ] 的二维数组，表示面对于前i个物品，能获得的最大容量（也可以看成从前往后推），那么我们可以很容易找出 它的状态转移方程：

dp[ c ] = max(dp[ c ],dp [j-w[ i ]]+v[ i])   ( j>=w[ i ])

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int v[]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[]={0,4,6,2,2,5,1};
    int n=6,c=12;
    int dp[20];

    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)   ///面对于前i个物品，能获得的最大容量
    {
    for(int j=c;j>=w[i];j--) ///注意这里与完全背包一维的区别，想了解的，可以去看我的另外一篇，有这两者的比较
    {
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",dp[c]);
    return 0;

}

 

Type 4：

解决办法：声明一个 大小为  dp[n][c] 的二维数组，表示从第i个到第n个物品中挑选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值（可看成从后往前推），那么我们可以很容易找出 它的状态转移方程：

dp[ i ] [ j ]= max(dp[i+1] [ j ],dp[i+1] [j-w[i ]]+v[ i ])  if ( j>=w[ i ])

dp[ i ] [ j ]=dp[ i+1 ][ j ];  if ( j<w[ i ] )

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{

    int v[]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[]={0,4,6,2,2,5,1};
    int n=6,c=12;
    int dp[20][20];

    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=n;i>=1;i--)   ///从第i个开始到第n个为止，挑选总重量小于j时，总价值的最大值
        for(int j=1;j<=c;j++)///可看成从后往前推
    {
        if(j<w[i]) dp[i][j]=dp[i+1][j];
        elsedp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
    }
    printf("%d\n",dp[1][c]);
    return 0;

}