本文探讨线性代数中的向量点积，通过几何解释和矩阵运算阐述其本质。点积表示向量在另一向量上的投影长度乘以该向量的长度，与二维空间中的矩阵向量乘法类似。当向量垂直时，点积为0；相反或相同时，点积正负取决于角度。此外，点积运算揭示了1×2矩阵与二维向量之间的关系，以及如何将二维向量转换为一维空间的过程。
在学习线性代数的时候，通常在学完了向量的基本运算后就开始学习点积了， 但是为了能够正确理解点积的意义。我们在理解线性变换后使用线性变换的思想来重新理解点积。
点积的运算
如果我们有两个维数相同的向量，那这两个向量的点积就是相对应的坐标分量相乘再相加。
[a1b1]⋅[a2b2]=a1×a2+b1×b2\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2[a1b1]⋅[a2b2]=a1×a2+b1×b2
[a1b1c1]⋅[a2b2c2]=a1×a2+b1×b2+c1×c2\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2 + c_1 \times c_2⎣⎡a1b1c1⎦⎤⋅⎣⎡a2b2c2⎦⎤=a1×a2+b1×b2+c1×c2
这个运算在几何上也有这样一个投影的解释。
向量 v⃗\vec{v}v 在向量 w⃗\vec{w}w 上投影的长度乘以 w⃗\vec{w}w 的长度，这里两个向量 v⃗\vec{v}v
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