线性代数的本质(六)——点积

本文探讨线性代数中的向量点积,通过几何解释和矩阵运算阐述其本质。点积表示向量在另一向量上的投影长度乘以该向量的长度,与二维空间中的矩阵向量乘法类似。当向量垂直时,点积为0;相反或相同时,点积正负取决于角度。此外,点积运算揭示了1×2矩阵与二维向量之间的关系,以及如何将二维向量转换为一维空间的过程。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

在学习线性代数的时候,通常在学完了向量的基本运算后就开始学习点积了, 但是为了能够正确理解点积的意义。我们在理解线性变换后使用线性变换的思想来重新理解点积。

点积的运算

如果我们有两个维数相同的向量,那这两个向量的点积就是相对应的坐标分量相乘再相加。

[a1b1]⋅[a2b2]=a1×a2+b1×b2\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2[a1b1][a2b2]=a1×a2+b1×b2

[a1b1c1]⋅[a2b2c2]=a1×a2+b1×b2+c1×c2\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2 + c_1 \times c_2a1b1c1a2b2c2=a1×a2+b1×b2+c1×c2

这个运算在几何上也有这样一个投影的解释。

向量 v⃗\vec{v}v 在向量 w⃗\vec{w}w 上投影的长度乘以 w⃗\vec{w}w 的长度,这里两个向量 v⃗\vec{v}v

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值