线性代数的本质(三)——矩阵和线性变换

本文探讨了线性变换的概念,将其视为向量空间的函数,介绍了矩阵如何表示线性变换,包括复合变换和逆变换。通过矩阵乘法,解释了变换顺序的重要性,并指出逆变换与单位矩阵的角色。

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线性变换

有了前两篇文章的基础,我们现在可以开始理解线性变换和矩阵的意义了。首先,我们可以把变换理解成函数,我们输入一个向量,然后这个变换对应有一个输出向量。这里之所以用“变换”这个词,是因为从向量的理解角度来说,这里像是一种向量的运动,我们看看直观的动图。

在这里插入图片描述

我们可以将这种变换理解成对整个空间的变换,这个变换将会对空间中的所有向量生效

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线性变换的定义如下

在一个线性空间T中变换A是线性变换是指,对于T中的任意元素 α⃗\vec{\alpha}α β⃗\vec{\beta}β ,和任意一个标量k,都有

  • A(α⃗+β⃗)=A(α⃗)+A(β⃗)A(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = A(\vec{\alpha}) + A(\vec{\beta})A(α +β )=A(α )+A(β )
  • A(kα⃗)=kA(α⃗)A(k\vec{\alpha}) = kA(\vec{\alpha})A(kα )=kA(α
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