线性代数的本质（三）——矩阵和线性变换

最新推荐文章于 2025-01-05 16:48:37 发布

LFasd97

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LFasd97/article/details/82770152

本文探讨了线性变换的概念，将其视为向量空间的函数，介绍了矩阵如何表示线性变换，包括复合变换和逆变换。通过矩阵乘法，解释了变换顺序的重要性，并指出逆变换与单位矩阵的角色。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

线性变换

有了前两篇文章的基础，我们现在可以开始理解线性变换和矩阵的意义了。首先，我们可以把变换理解成函数，我们输入一个向量，然后这个变换对应有一个输出向量。这里之所以用“变换”这个词，是因为从向量的理解角度来说，这里像是一种向量的运动，我们看看直观的动图。

在这里插入图片描述

我们可以将这种变换理解成对整个空间的变换，这个变换将会对空间中的所有向量生效

在这里插入图片描述

线性变换的定义如下

在一个线性空间T中变换A是线性变换是指，对于T中的任意元素 $α⃗\vec{\alpha}$ ， $β⃗\vec{\beta}$ ，和任意一个标量k，都有

$A(α⃗+β⃗)=A(α⃗)+A(β⃗)A(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = A(\vec{\alpha}) + A(\vec{\beta})$

$A(kα⃗)=kA(α⃗)A(k\vec{\alpha}) = kA(\vec{\alpha})$

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