线性变换
有了前两篇文章的基础,我们现在可以开始理解线性变换和矩阵的意义了。首先,我们可以把变换理解成函数,我们输入一个向量,然后这个变换对应有一个输出向量。这里之所以用“变换”这个词,是因为从向量的理解角度来说,这里像是一种向量的运动,我们看看直观的动图。
我们可以将这种变换理解成对整个空间的变换,这个变换将会对空间中的所有向量生效
线性变换的定义如下
在一个线性空间T中变换A是线性变换是指,对于T中的任意元素 α⃗\vec{\alpha}α,β⃗\vec{\beta}β,和任意一个标量k,都有
- A(α⃗+β⃗)=A(α⃗)+A(β⃗)A(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = A(\vec{\alpha}) + A(\vec{\beta})A(α+β)=A(α)+A(β)
- A(kα⃗)=kA(α⃗)A(k\vec{\alpha}) = kA(\vec{\alpha})A(kα)=kA(α