【题目】
如图,正方形 ABCDABCDABCD 的边长为 111 ,P,QP,QP,Q 分别为边 AB,DAAB,DAAB,DA 上的点.当 △APQ\triangle APQ△APQ 的周长为 222 时,求 ∠PCQ\angle PCQ∠PCQ 的大小.

【解析】
设 ∠DCQ=α,∠BCP=β\angle DCQ=\alpha , \angle BCP=\beta∠DCQ=α,∠BCP=β ,则 DQ=tanα,PB=tanβDQ=\tan\alpha,PB=\tan\betaDQ=tanα,PB=tanβ . 因为DQ+QA+AP+PB=2DQ+QA+AP+PB=2DQ+QA+AP+PB=2QA+AP+PQ=2QA+AP+PQ=2QA+AP+PQ=2所以 PQ=QD+PB=tanα+tanβPQ=QD+PB=\tan\alpha+\tan\betaPQ=QD+PB=tanα+tanβ ,在 Rt△QAP{\rm Rt}\triangle QAPRt△QAP 中 QA2+AP2=PQ2QA^2+AP^2=PQ^2QA2+AP2=PQ2 .即(1−tanα)2+(1−tanβ)2=(tanα+tanβ)2(1-\tan\alpha)^2+(1-\tan\beta)^2=(\tan\alpha+\tan\beta)^2(1−tanα)2+(1−tanβ)2=(tanα+tanβ)2变形得tanα+tanβ=1−tanαtanβ\tan\alpha+\tan\beta=1-\tan\alpha\tan\betatanα+tanβ=1−tanαtanβ故 tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ=1 .又 α+β∈(0,π2)\alpha+\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})α+β∈(0,2π) ,所以 α+β=π4\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}α+β=4π ,所以 ∠PCQ=π4\angle PCQ=\dfrac{\pi}{4}∠PCQ=4π .