两角和的正切

在边长为1的正方形ABCD中,当△APQ的周长为2时,通过复杂的三角函数运算,求得∠PCQ的大小为π/4。解析过程涉及了正切函数的性质及角度求和公式。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

【题目】
如图,正方形 ABCDABCDABCD 的边长为 111P,QP,QP,Q 分别为边 AB,DAAB,DAAB,DA 上的点.当 △APQ\triangle APQAPQ 的周长为 222 时,求 ∠PCQ\angle PCQPCQ 的大小.

【解析】
∠DCQ=α,∠BCP=β\angle DCQ=\alpha , \angle BCP=\betaDCQ=α,BCP=β ,则 DQ=tan⁡α,PB=tan⁡βDQ=\tan\alpha,PB=\tan\betaDQ=tanα,PB=tanβ . 因为DQ+QA+AP+PB=2DQ+QA+AP+PB=2DQ+QA+AP+PB=2QA+AP+PQ=2QA+AP+PQ=2QA+AP+PQ=2所以 PQ=QD+PB=tan⁡α+tan⁡βPQ=QD+PB=\tan\alpha+\tan\betaPQ=QD+PB=tanα+tanβ ,在 Rt△QAP{\rm Rt}\triangle QAPRtQAPQA2+AP2=PQ2QA^2+AP^2=PQ^2QA2+AP2=PQ2 .即(1−tan⁡α)2+(1−tan⁡β)2=(tan⁡α+tan⁡β)2(1-\tan\alpha)^2+(1-\tan\beta)^2=(\tan\alpha+\tan\beta)^2(1tanα)2+(1tanβ)2=(tanα+tanβ)2变形得tan⁡α+tan⁡β=1−tan⁡αtan⁡β\tan\alpha+\tan\beta=1-\tan\alpha\tan\betatanα+tanβ=1tanαtanβtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=1\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1tan(α+β)=1tanαtanβtanα+tanβ=1 .又 α+β∈(0,π2)\alpha+\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})α+β(0,2π) ,所以 α+β=π4\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}α+β=4π ,所以 ∠PCQ=π4\angle PCQ=\dfrac{\pi}{4}PCQ=4π .

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值