两角和的正切

LB_yifeng

于 2020-01-23 21:34:13 发布

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分类专栏：高中数学知识

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在边长为1的正方形ABCD中，当△APQ的周长为2时，通过复杂的三角函数运算，求得∠PCQ的大小为π/4。解析过程涉及了正切函数的性质及角度求和公式。

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【题目】
如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $P, Q$ 分别为边 $A B, D A$ 上的点.当 $△APQ\triangle APQ$ 的周长为 $2$ 时，求 $∠PCQ\angle PCQ$ 的大小.

【解析】
设 $∠DCQ=α,∠BCP=β\angle DCQ=\alpha , \angle BCP=\beta$ ，则 $DQ=tan⁡α,PB=tan⁡βDQ=\tan\alpha,PB=\tan\beta$ . 因为 $D Q + Q A + A P + P B = 2$ $Q A + A P + P Q = 2$ 所以 $PQ=QD+PB=tan⁡α+tan⁡βPQ=QD+PB=\tan\alpha+\tan\beta$ ，在 $Rt△QAP{\rm Rt}\triangle QAP$ 中 $QA^2+AP^2=PQ^2$ .即 $(1−tan⁡α)2+(1−tan⁡β)2=(tan⁡α+tan⁡β)2(1-\tan\alpha)^2+(1-\tan\beta)^2=(\tan\alpha+\tan\beta)^2$ 变形得 $tan⁡α+tan⁡β=1−tan⁡αtan⁡β\tan\alpha+\tan\beta=1-\tan\alpha\tan\beta$ 故 $tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=1\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1$ .又 $α+β∈(0,π2)\alpha+\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ ，所以 $α+β=π4\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ ，所以 $∠PCQ=π4\angle PCQ=\dfrac{\pi}{4}$ .