洛谷P1630 求和

原创已于 2024-08-02 13:54:25 修改 · 539 阅读

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#算法 #数据结构 #c++

于 2024-08-02 10:27:30 首次发布

求和

题目描述

求 $1b+2b+⋯+ab1^b+2^b+\cdots + a^b$ 的和除以 $10^4$ 的余数。

输入格式

本题有多组数据。

第一行一个整数 $N$ ，表示共有 $N$ 组测试数据。

对于每组数据，一行两个整数 $a, b$ 。

输出格式

对于每组数据，一行一个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1
2 3

样例输出 #1

提示

对于 $30%30\%$ 的数据， $\le 10$ ， $\le 10^3$ 。

对于 $100%100\%$ 的数据， $\le N \le 100$ ， $\le a,b \le 10^9$ 。

这道题想AC比较困难，原因有以下几点：
1：数据规模庞大，无符号长整数都存不下。
2：复杂度高，易超时。
接下来给大家看一份0分代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e4;
int main() {
	long long n;
	cin >> n;
	while(n--){
		long long a,b;
		cin >> a >> b;
		long long ans=0;
		for(int i=1;i<=a;i++){
			long long sum=(int)(pow(i,b))%MOD;
			ans=(ans+sum)%MOD;
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}

以上这份代码朴实无华，用的函数是pow，开的也是long long，可结果就有点不尽人意了。3WA,7TLE。为什么呢，因为数据过于庞大，long long存不下，返回的一个负数，结果肯定不对。
其次，复杂度是n*a是肯定要超时的。
那么就用到快速幂了。
接下来给大家看一份30分代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e4;
long long power(int a,int n){
	int ans=1;
	while(n){
		if(n%2){
			ans=(ans%MOD)*(a%MOD)%MOD;
		}
		a=(a%MOD)*(a%MOD)%MOD;
		n/=2;
	}
	return ans;
}
int main() {
	long long n;
	cin >> n;
	while(n--){
		long long a,b;
		cin >> a >> b;
		long long ans=0;
		for(int i=1;i<=a;i++){
			long long sum=(int)(power(i,b))%MOD;
			ans=(ans+sum)%MOD;
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}

这份代码虽然经过快速幂优化但超时任是不可免的。那还能怎么优化呢？点开标签看到数学，好开始打表，怎么打表，我们可已将它每一次sum进行输出，如下图。
打表代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e4;
long long power(int a,int n){
	int ans=1;
	while(n){
		if(n%2){
			ans=(ans%MOD)*(a%MOD)%MOD;
		}
		a=(a%MOD)*(a%MOD)%MOD;
		n/=2;
	}
	return ans;
}
int main() {
	long long n;
	cin >> n;
	while(n--){
		long long a,b;
		cin >> a >> b;
		long long ans=0;
		int cnt=0;
		for(int i=1;i<=a;i++){
			long long sum=(int)(power(i,b))%MOD;
			cout << sum << " ";
			cnt++;
			if(cnt%5==0){
				cout << endl;
				cnt=0;
			}
			ans=(ans+sum)%MOD;
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}

在这里插入图片描述
现在开始寻找重复部分，发现为5000个一循环，但是这个数只针对于b=2所以我们还得继续打表，经过漫长的打表过程，可以发现无论b是几，每个循环个数都是1e4的因数(不会因数的请回小学重造！)就意味每个1e4它都会循环。1e4一个循环，这正好是题目的模数，相当与~~我表白打了~~ 我们可以先算出每个循环的和，再计算没有到达一个循环的部分，这样复杂度将大大减少，因为我们只需一个循环进行求和，再来一个循环求不到1e4的。具体如下。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e4;
long long power(int a,int n){
	int ans=1;
	while(n){
		if(n%2){
			ans=(ans%MOD)*(a%MOD)%MOD;
		}
		a=(a%MOD)*(a%MOD)%MOD;
		n/=2;
	}
	return ans;
}
int main(){
	long long n;
	cin >> n;
	while(n--){
		long long a,b;
		cin >> a >> b;
		long long ans=0;
		for(int i=1;i<=10000;i++){
			long long sum=(int)(power(i,b))%MOD;
			ans=(ans+sum)%MOD;
		}
		ans=a/10000*ans;
		for(int i=1;i<=a%MOD;i++){
			long long sum=(int)(power(i,b))%MOD;
			ans=(ans+sum)%MOD; 
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}