杨辉三角的运用-Ⅲ

背景

   在昏昏欲睡的概率论的课堂上，我只看见老师的嘴巴一张一合，却完全听不清老师讲的内容。我环顾四周，大家也都用尽了力气抬头听课。就这样在朦朦胧胧中等待着课堂的结束，突然听到老师说了一句$P(A\bigcap B\bigcap C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\bigcup C)-P(C\bigcup B)-P(A\bigcup B)+P(A\bigcup B\bigcup C)①$。我一个激灵，敏感的思绪意识到事情不对，在经过两节课的冥思苦想之下，终于理清了整件事的来龙去脉。

切入正题

   简单学过概率论的我们，知道这么一个小巧的公式：$P(A\bigcap B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcup B)$。假如我们将这个具有两个变量的公式看成二维拆解公式，那三个变量的公式就自然可以看成三维拆解公式。我们把等式左边那一项移到右端，就可以看到一个这个公式的全貌：$-P(A\bigcap B)+P(A)+P(B)-P(A\bigcup B)=0$，假如再把三维公式拿下来，将等式左端那一项移到等式右端，我们可以看到：$-P(A\bigcap B\bigcap C)+P(A)+P(B)+P(C)-P(A\bigcup C)-P(C\bigcup B)-P(A\bigcup B)+P(A\bigcup B\bigcup C)=0$。可能屏幕前茫然的你仍然不知所措，但是请尽情地相信“啊哈”的意志！我们把同等类型的概率看成一个整体，即：$P(A),P(B),P(C)$等括号里类型相同的概率看成一个整体，我们就可以看出如下的形式：{ −1,2,−1−1,3,−3,1…\left\{\begin{array}{c} -1,2,-1\\-1,3,-3,1\\ \dots \end{array} \right. ⎩⎨