揭示概率论中的三维拆解公式：杨辉三角的数学魔术-优快云博客

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这篇文章讲述了在昏昏欲睡的课堂上，作者通过一个概率论公式，发现了一个与杨辉三角有关的规律。通过三维概率公式和杨辉三角的联系，作者展示了如何从二维公式扩展到三维，并给出了详细的证明过程。

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背景

在昏昏欲睡的概率论的课堂上，我只看见老师的嘴巴一张一合，却完全听不清老师讲的内容。我环顾四周，大家也都用尽了力气抬头听课。就这样在朦朦胧胧中等待着课堂的结束，突然听到老师说了一句 $\bigcap B \bigcap C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \bigcup C) - P(C \bigcup B) - P(A \bigcup B) + P(A \bigcup B \bigcup C)①$ 。我一个激灵，敏感的思绪意识到事情不对，在经过两节课的冥思苦想之下，终于理清了整件事的来龙去脉。

切入正题

简单学过概率论的我们，知道这么一个小巧的公式： $\bigcap B ) = P(A) + P(B) - P(A \bigcup B)$ 。假如我们将这个具有两个变量的公式看成二维拆解公式，那三个变量的公式就自然可以看成三维拆解公式。我们把等式左边那一项移到右端，就可以看到一个这个公式的全貌： $\bigcap B ) + P(A) + P(B) - P(A \bigcup B) = 0$ ，假如再把三维公式拿下来，将等式左端那一项移到等式右端，我们可以看到： $\bigcap B \bigcap C) + P(A) + P(B) + P(C) - P(A \bigcup C) - P(C \bigcup B) - P(A \bigcup B) + P(A \bigcup B \bigcup C) = 0$ 。可能屏幕前茫然的你仍然不知所措，但是请尽情地相信“啊哈”的意志！我们把同等类型的概率看成一个整体，即： $P (A), P (B), P (C)$ 等括号里类型相同的概率看成一个整体，我们就可以看出如下的形式： ${−1,2,−1−1,3,−3,1…\left\{\begin{array}{c} -1,2,-1\\-1,3,-3,1\\ \dots \end{array} \right.$ 我们已经能够预想出接下来的走向： ${−1,2,−1−1,3,−3,1−1,4,−6,4,−1−1,5,−10,10,−5,1…\left\{\begin{array}{c} -1,2,-1\\-1,3,-3,1\\ -1,4,-6,4,-1\\-1,5,-10,10,-5,1\\\dots \end{array} \right.$ 这不就是杨辉三角的变形嘛！接下来，我们给出证明。

证明

下面我们给出证明：
首先利用 $(1−1)n=Cn0(−1)0+Cn1(−1)1+⋯+Cnn(−1)n(1-1)^n = C_n^0(-1)^0 + C_n^1(-1)^1 +\dots +C_n^n(-1)^n$ $= 0$ ,两边同时乘以一个（-1）式子仍然保持成立，就有了如下的式子： $Cn0(−1)1+Cn1(−1)2+⋯+Cnn(−1)n+1=0C_n^0(-1)^1 + C_n^1(-1)^2 +\dots +C_n^n(-1)^{n+1}= 0$ 可知，在上面所列出的杨辉三角的变形式中每一行之和为零。学过数电的小同学们都知道n个变量的相交项是一个最小项，它可以被等式①右端任意一个相并块所包含，所以等式右端的每一个分量都暗示着这个最小项出现一次，那么我们就可以将每一项看成一个数字1，那么利用变形后的杨辉三角式可以看出公式的大致的正确性。
接下来我们要证明，在相加的过程中，除了n变量的相交项可以保留一个以外，其余的任意的m（m<n)个变量的相交项经过运算之后和为零。
举个例子：如图中的 $A B C^{'}$ 块，由于其被 $A, B, A$ $⋃\bigcup$ $C, B$ $⋃\bigcup$ $C,$ 另外还有一个 $\bigcup B \bigcup C$ 所包含，所以在对应的概率分量上标为1。所得到的和依然为零。考虑有n个自变量，m个自变量相交块的和为： $(Cn1−Cn−m1)(C_n^1-C^1_{n-m})$ - $C_n^2-C_{n-m}^2)$ $…\dots$ $1)^{n+1}(C_n^n-C_{n-m}^n)$ ，我们先定义： $C_m^n = 0(m < n)$ ，可得将上述式子整理后为： $(Cn1−Cn2+Cn3−⋯+(−1)n+1Cnn)−(Cn−m1−Cn−m2+⋯+(−1)n−m+1Cn−mn−m)(C_n^1-C_n^2 +C_n^3 -\dots +(-1)^{n+1}C_n^n)-(C_{n-m}^1-C_{n-m}^2 +\dots +(-1)^{n-m+1}C_{n-m}^{n-m})$ ，我们由杨辉三角的变形式可知，其之差是为零的。

公式

于是我们可以得出下列公式： $P(A1⋂A2⋂A3⋯⋂An)=(−1)0(P(A1)+P(A2)+P(A3)…P(An))+(−1)1(P(A1⋃A2)+P(A1⋃A3)+P(A2⋃A3)⋯+P(An−1⋃An))+(−1)2(P(A1⋃A2⋃A3)+P(A1⋃A2⋃A4)+P(A1⋃A2⋃A5)+⋯+P(An−2⋃An−1⋃An)P(A_1 \bigcap A_2 \bigcap A_3 \dots \bigcap A_n) = (-1)^0(P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)\dots P(A_n)) + (-1)^1(P(A_1 \bigcup A_2) + P(A_1 \bigcup A_3) + P(A_2 \bigcup A_3) \dots+P(A_{n-1} \bigcup A_n) )+ (-1)^2(P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3)+P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_4)+P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_5)+\dots +P(A_{n-2} \bigcup A_{n-1} \bigcup A_n)$ $⋯+(−1)n−1(P(A1⋃A2⋃A3⋯⋃An))\dots +(-1)^{n-1}(P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3 \dots \bigcup A_n))$