一个等差×等比数列连加式

背景

今天在做数字信号处理作业的时候,发现了这样的一种连加式。我们在高中学习了如何计算等比数列,那我们再引申一些,得到下面的一个数列。
  假如存在这么一个通项an=nmqna_n = n^m q^nan=nmqn,我们定义一个连加式如下:Sn=∑n=0N0−1anS_n = \sum_{n = 0} ^ {N_0 - 1} a_nSn=n=0N01an,这种问题应该如何解决呢?

引言

我们简要介绍一个公式,也很简单,如下:nm−(n−1)m=Cm1nm−1+Cm2nm−2(−1)1+Cm3nm−3(−1)2+⋯+Cmmn0(−1)m−1n^m - (n-1)^m = C_m^1 n^{m-1}+C_m^2n^{m-2}(-1)^1+C_m^3n^{m-3}(-1)^2+\dots+C_m^mn^{0}(-1)^{m-1}nm(n1)m=Cm1nm1+Cm2nm2(1)1+Cm3nm3(1)2++Cmmn0(1)m1
我们在计算连加式的时候,要利用等比数列的计算思想,对不相等的系数呢,最好给它化成相等的数。我在这里列一个表格。我们定义一种标记如下:Sni=∑n=1N0−1niqnS_n^i = \sum_{n = 1} ^ {N_0 - 1}n^i q^nSni=n=1N01niqn。并且在计算SnmS_n^mSnm的时候,假定Snm−1,Snm−2…Sn0S_n^{m-1},S_n^{m-2}\dots S_n^0Snm1,Snm2Sn0都已知。我们可以推出一个递推式,这个递推式是由Snm−1,Snm−2…Sn0S_n^{m-1},S_n^{m-2}\dots S_n^0Snm1,Snm2Sn0组成。我们先来看下面的这个式子。
Snm=q+2mq2+3mq3⋯+(N0−1)mqN0−1S_n^m = q + 2^mq^2+3^mq^3\dots+(N_0-1)^mq^{N_0-1}Snm=q+2mq2+3mq3+(N01)mqN01,我们把它们的系数全部写下来,看看有什么特征。

1q1q1q2mq22^mq^22mq23mq33^mq^33mq3…\dots(N0−1)mqN0−1(N_0-1)^mq^{N_0-1}(N01)mqN01
我们尽可能地去利用等比数列的求和公式,所以我们进行如下的展开。
1q1q1q1q21q^21q21q31q^31q3…\dots1qN0−11q^{N_0-1}1qN01
000(2m−1)q2(2^m-1)q^2(2m1)q2(2m−1)q3(2^m-1)q^3(2m1)q3…\dots(2m−1)qN0−1(2^m-1)q^{N_0-1}(2m1)qN01
000000(3m−2m)q3(3^m-2^m)q^3(3m2m)q3…\dots(3m−2m)qN0−1(3^m-2^m)q^{N_0-1}(3m2m)qN01
000000000…\dots(4m−3m)qN0−1(4^m-3^m)q^{N_0-1}(4m3m)qN01
…\dots…\dots…\dots…\dots…\dots
000000000…\dots((N0−1)m−(N0−2)m)qN0−1((N_0-1)^m-(N_0-2)^m)q^{N_0-1}((N01)m(N02)m)qN01

我们知道,一个等比数列的求和公式只与首项和尾项以及公比有关。从上述展开式中,我们可以从中发现(N0−1)(N_0-1)(N01)个等比数列的求和。它们的和分别如下:q−qN01−q\frac{q-q^{N_0}}{1-q}1qqqN0(2m−1)q2−qN01−q(2^m-1)\frac{q^2-q^{N_0}}{1-q}(2m1)1qq2qN0(3m−2m)q3−qN01−q(3^m-2^m)\frac{q^3-q^{N_0}}{1-q}(3m2m)1qq3qN0…\dots((N0−1)m−(N0−2)m)qN0−1−qN01−q((N_0-1)^m-(N_0-2)^m)\frac{q^{N_0-1}-q^{N_0}}{1-q}((N01)m(N02)m)1qqN01qN0,而SnmS_n^mSnm就是前面一系列式子的和。我们加到一起会发现如下的式子:Snm=q+(2m−1)q2+(3m−2m)q3+⋯+(N0−1)m−(N0−2)m)qN0−11−q−(N0−1)mqN01−qS_n^m = \frac{q+(2^m-1)q^2+(3^m-2^m)q^3+\dots+(N_0-1)^m-(N_0-2)^m)q^{N_0-1}}{1-q}-\frac{(N_0-1)^mq^{N_0}}{1-q}Snm=1qq+(2m1)q2+(3m2m)q3++(N01)m(N02)m)qN011q(N01)mqN0,这个时候,我们的工作重心就转移到解前一段很长的式子之和上,我们发现:nm−(n−1)m=Cm1nm−1+Cm2nm−2(−1)1+Cm3nm−3(−1)2+⋯+Cmmn0(−1)m−1n^m - (n-1)^m = C_m^1 n^{m-1}+C_m^2n^{m-2}(-1)^1+C_m^3n^{m-3}(-1)^2+\dots+C_m^mn^{0}(-1)^{m-1}nm(n1)m=Cm1nm1+Cm2nm2(1)1+Cm3nm3(1)2++Cmmn0(1)m1,这就意味着我们可以将第一部分式子中的系数给再次展开,可以得到如下的式子:q+(2m−1)q2+(3m−2m)q3+⋯+(N0−1)m−(N0−2)m)qN0−1=Cm1(−1)0(1m−1q+2m−1q2+3m−1q3+⋯+(N0−1)m−1qN0−1)+Cm2(−1)1(1m−2q+2m−2q2+3m−2q3+⋯+(N0−1)m−2qN0−1)+Cm3(−1)2(1m−3q+2m−3q2+3m−3q3+⋯+(N0−1)m−3qN0−1)+⋯+Cmm(−1)m−1(10q+20q2+30q3+⋯+(N0−1)0qN0−1)q+(2^m-1)q^2+(3^m-2^m)q^3+\dots+(N_0-1)^m-(N_0-2)^m)q^{N_0-1} = C_m^1(-1)^0(1^{m-1}q+2^{m-1}q^2+3^{m-1}q^3+\dots+(N_0-1)^{m-1}q^{N_0-1})+C_m^2(-1)^1(1^{m-2}q+2^{m-2}q^2+3^{m-2}q^3+\dots+(N_0-1)^{m-2}q^{N_0-1})+C_m^3(-1)^2(1^{m-3}q+2^{m-3}q^2+3^{m-3}q^3+\dots+(N_0-1)^{m-3}q^{N_0-1})+\dots+C_m^m(-1)^{m-1}(1^{0}q+2^{0}q^2+3^{0}q^3+\dots+(N_0-1)^{0}q^{N_0-1})q+(2m1)q2+(3m2m)q3++(N01)m(N02)m)qN01=Cm1(1)0(1m1q+2m1q2+3m1q3++(N01)m1qN01)+Cm2(1)1(1m2q+2m2q2+3m2q3++(N01)m2qN01)+Cm3(1)2(1m3q+2m3q2+3m3q3++(N01)m3qN01)++Cmm(1)m1(10q+20q2+30q3++(N01)0qN01)幸运地是这个式子仍然是可以简化的,我们简化得到下面的形式:∑k=1mCmk(−1)k−1Snm−k\sum_{k = 1}^{m}C_m^k(-1)^{k-1}S_n^{m-k}k=1mCmk(1)k1Snmk,那我们再回到上面的式子,我们可以得到如下的式子:Snm=∑k=1mCmk(−1)k−1Snm−k1−q−(N0−1)mqN01−qS_n^m = \frac{\sum_{k = 1}^{m}C_m^k(-1)^{k-1}S_n^{m-k}}{1-q}-\frac{(N_0-1)^mq^{N_0}}{1-q}Snm=1qk=1mCmk(1)k1Snmk1q(N01)mqN0,那我们就可以得知,在假定Snm−1,Snm−2…Sn0S_n^{m-1},S_n^{m-2}\dots S_n^0Snm1,Snm2Sn0都已知的情况下,我们可以推出SnmS_n^mSnm的值。

尾声

又发现了一个小东西,迫不及待地发出来博各位看官一乐…

内容概要:本书《Deep Reinforcement Learning with Guaranteed Performance》探讨了基于李雅普诺夫方法的深度强化学习及其在非线性系统最优控制中的应用。书中提出了一种近似最优自适应控制方法,结合泰勒展开、神经网络、估计器设计及滑模控制思想,解决了不同场景下的跟踪控制问题。该方法不仅保证了性能指标的渐近收敛,还确保了跟踪误差的渐近收敛至零。此外,书中还涉及了执行器饱和、冗余解析等问题,并提出了新的冗余解析方法,验证了所提方法的有效性和优越性。 适合人群:研究生及以上学历的研究人员,特别是从事自适应/最优控制、机器人学和动态神经网络领域的学术界和工业界研究人员。 使用场景及目标:①研究非线性系统的最优控制问题,特别是在存在输入约束和系统动力学的情况下;②解决带有参数不确定性的线性和非线性系统的跟踪控制问题;③探索基于李雅普诺夫方法的深度强化学习在非线性系统控制中的应用;④设计和验证针对冗余机械臂的新型冗余解析方法。 其他说明:本书分为七章,每章内容相对独立,便于读者理解。书中不仅提供了理论分析,还通过实际应用(如欠驱动船舶、冗余机械臂)验证了所提方法的有效性。此外,作者鼓励读者通过仿真和实验进一步验证书中提出的理论和技术。
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