合成游戏中的数学原理

一个游戏

      不知道屏幕前的你是否也玩过这样的一个游戏，在游戏里，你可以将两个低等级的单元可以合成为一个次高等级的单元，而两个次高等级的单元可以合成为一个高等级的单元，而这样的合成游戏中，往往也会具有网格的限制，每一个单元都会占据一个网格，而总的网格是有限的，并且在网格中添加单元时，只能添加最低的等级的单元。那总的网格数与我们单元的最高等级之间是否有一定的数学关系呢？想必是有的，先来带大家看一下我最近玩过的一款游戏，是一款合成恐龙的游戏。

这张图片就表现出了网格的概念，每一个单元占据一个网格，而一共有$15$个网格，并且每两个同等级的单元可以合成为一个高等级的单元。

问题分析与解决

分析

      遇到了逢二进一的问题，我们首先就会想到二进制的问题。的确，我们在探究一个有$15$个网格可以放置的最大的单元等级是多少的问题时，我们可以采取这样的思路，将我们的操作分成了两个操作：添加操作与融合操作。添加操作即每次往这些网格中放置一个最低等级的单元（这也是问题的一个限制），融合操作为将满足融合条件（同一等级的单元数量大于等于$2$）的单元进行融合。并且，为了最大化我们的网格空间，我们将融合操作的优先级放到添加操作的前面。我们前面提到，这样的一个问题是一个二进制逢二进一的问题，即完全可以将这个问题看作一个二进制计数的问题。

抽象

      按照我们上述的规定，融合操作优先级大于放置操作优先级，那这个问题已经转化为了一个二进制计数的问题。我们先把网格数量减少到$3$。我们先添加一个最低单元，二进制数代表为$（1）$。此时没有满足融合条件，我们继续添加。现在有两个最低等级的单元，但还没有融合，我们找不到一个合适的二进制数对其进行表示，我们规定一个二进制数$（02\ast ）$，这里的′∗′'*'