信息熵韦恩图中的数学关系

背景

    其日，阅文献，偶逢“马尔可夫链”，心起乐，遂取纸笔以证之。追思寻至数时，未果，以头痛罢。其后，偶得一奇法，遂疾书之。愿诸君闲暇之余，阅之以遣时，不是处多指正。

马尔科夫模型

    马尔科夫模型具体形式以链接形式给出，这里拿来引出问题。链接：马尔可夫模型。这里要介绍一个叫马尔可夫链的东东，它是一个多维条件随机变量的概率展开式①：$$p(Y_1{Y}_2\dots Y_n|X_1{X}_2\dots X_n)=p(Y_1|X_1)\ast p(Y_2|X_2)\ast \dots p(Y_n|X_n)①$$其中，$X_1、X_2、\dots X_n$为输入序列，$Y_1、Y_2、\dots Y_n$为输出序列。假如输入序列当前值为$X_m$，则$X_{m-1}、X_{m-1}、\dots X_1$会对当前值产生影响。但马尔可夫提出如下两个条件，使得上述马尔科夫链成立：

1. 只有上一个输入序列会对当前序列有影响，即式②：$p(X_m|X_{m-1}{X}_{m-2}\dots X_1)=p(X_m|X_{m-1})②$
2. 输出序列当前值只与输入序列当前值有关。

一个疑惑

    根据上述两个条件，我开始对①进行了数学推导，但我遇到了疑惑：根据条件二，$Y_m$只与$X_m$有关，而$X_m$与$X_{m-1}$有关，那么$Y_m$与$X_{m-1}$是否能够相互独立，我没有办法解决。于是我开始思考另一个问题，倘若有三个随机变量$X、Y、Z$，其中$X$与 Y Y