群体决策错误率分析

群体决策

足够多的决策个体通过少数服从多数的决策方式在一定条件下可以使决策的错误率降低至任意小。

    证明要使用到大数定律。学过概率论的小伙伴对这个应该并不陌生。对于许多服从同一分布且相互独立的随机变量，若有一随机变量是这些随机变量的平均，当随机变量的数目逐渐增多时，平均后的随机变量将均方收敛于单个随机变量的均值。

公式表达

    大数定律：p{∣X−E(X)∣≥ϵ}≤D(X)ϵ2 p\{|X-E(X)|\ge\epsilon\}\leq\frac{D(X)}{\epsilon^2}p{∣X−E(X)∣≥ϵ}≤ϵ2D(X)​
    均方收敛：$$\underset{n\to \infty }{\lim }E((\widehat{X_n}-\nu {)}^2)=0$$
    其中，$$\widehat{X_n}=\frac{X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n}{n}$$
    其中，$$X_1，X_2，X_3\dots X_n$$是独立同分布的随机变量，其均值为 $\nu$。

说人话

    假如我现在拿两元钱去买彩票，彩票可以中奖五百万。为简化问题起见，我们只设立一个奖项，奖金五百万。假设我们的中奖概率为$r$，我们不中奖的概率为$1-r$，我们规定中奖金额的均值为：$5000000r$元。这代表着，假如我们每次随心所欲的买彩票，假如买了$N$次，我们最终可以得到$5000000Nr$元，但我们买彩票花了多少钱？很明显是$2N$元，在什么情况下我们可以从彩票中得到一个稳定收入？当且仅当$2N\le 5000000Nr$，即$r\ge \frac{1}{250000}$。但这类彩票中奖率往往都在千万分之一，这一方面也在告诉我们，彩票不能成为一个稳定收入的工作。我们只是在小杨哥几万人直播间里抽十个平板电脑都抽不到的大众。
    那这与我们的群体决策有什么关系呢？

少数服从多数原则的数学等效

    假设现在有两种决策，$A$决策与$B$决策，我们假设$A$决策为错误决策，相应$B$决策为正确决策。每个决策个体满足独立同分布，即每个决策个体决策正确率为$r$，错误决策概率为$1-r$。用$0$与$1$分别对应$A$与$B$决策，$X$为随机变量，假如现在有$n$个决策个体：$X_1，X_2，X_3\dots X_n$，其和平均为：$\widehat{X_n}$，可以表示决策群体中作出正确决策人的个数的概率，由大数定律可推出依概率$1$收敛公式：lim⁡n→∞p{Xn^=r}=1\lim_{n\to\infty} p\{\widehat{X_n}=r\}=1n→∞lim​p{Xn​​=r}=1则当且仅当$r>0.5$时。可知，整个决策群体中选择正确决策的人数大于选择错误决策的人数，并且我们可以通过增加决策个体的数量，使得少数服从多数原则有任意小的错误率。

结论

    若有一个决策群体，决策个体之间独立同分布，若每个决策个体的决策正确率大于$0.5$，则当决策人数数量足够多时，凭借少数服从多数原则，可以将决策错误率控制在任意小范围内。