P4302 [SCOI2003]字符串折叠 (区间DP)

博客围绕字符串最短折叠问题展开,给出问题描述,如 AAAAAAAAAABABABCCD 最短折叠为 9(A)3(AB)CCD 。还说明了输入输出格式,重点分析算法,用 f[l][r] 表示区间折叠最短长度,给出两种转移方式及对应转移方程。

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题目描述

折叠的定义如下:

一个字符串可以看成它自身的折叠。记作 S = S

X(S) 是 XXX 个 S 连接在一起的串的折叠。记作 X(S) = SSSS…S。

如果 A = A’, B = B’,则 AB = A’B’ 。例如:因为 3(A) = AAA, 2(B) = BB,所以 3(A)C2(B) = AAACBB,而 2(3(A)C)2(B) = AAACAAACBB

给一个字符串,求它的最短折叠。

例如 AAAAAAAAAABABABCCD 的最短折叠为:9(A)3(AB)CCD。

输入格式

仅一行,即字符串 S,长度保证不超过 100。

输出格式

仅一行,即最短的折叠长度。

输入样例

NEERCYESYESYESNEERCYESYESYES

输出样例

14

分析

f[l][r]表示将区间[l,r]折叠后的最短长度。

有两种转移:

  1. 被一个k(l<k<r)分成[l,k],[k+1,r]合并得到。
  2. 被某个子串[l,k]展开得到[l,r](前提是[l,r]的区间长度为[l,k]的倍数并且字符串[l,r]可以由[l,k]字符串拼出)。

转移方程:
1.f[i][j]=max(f[i][j],f[l][k]+f[k+1][r])f[i][j]=max(f[i][j],f[l][k]+f[k+1][r])f[i][j]=max(f[i][j],f[l][k]+f[k+1][r])
2.f[i][j]=max(f[i][j],f[l][k]+cnt[(r−l+1)/(k−l+1)]+2)f[i][j]=max(f[i][j],f[l][k]+cnt[(r-l+1)/(k-l+1)]+2)f[i][j]=max(f[i][j],f[l][k]+cnt[(rl+1)/(kl+1)]+2)

#include<bits/stdc++.h> 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110;
string s;
int f[N][N],n,cnt[N];
bool sub(int l,int r,int L,int R)	//判断[L,R]的字符串是否可以由[l,r]组成
{
    int t=(R-L+1)%(r-l+1),len=r-l+1;
   	//区间[L,R]的长度是否能将区间[l,r]的长度整除
    if(t)
        return 0;
    
    //判断[L,R]的字符串是否是由若干个[l,r]字符串组成的
    for(int i=0;i<R-L+1;i++)
    {
        if(s[l+i%len]!=s[L+i])
            return 0;
    }
    
   return 1;
}
void print(int l,int r)	//打印最终的字符结果
{
    if(f[l][r]==r-l+1)
    {
        for(int i=l;i<=r;i++) printf("%c",s[i]);
        return ;
    }
    else{
        for(int k=l;k<r;k++)
        {
        	//情况1由左右两边组成
            if(f[l][r]==f[l][k]+f[k+1][r])
            {
                print(l,k),print(k+1,r);	//先输出左边,后输出右边
                return ;
            }
            if(sub(l,k,l,r) && (r-l+1)%(k-l+1)==0)	//情况2由子串组成
            {
            	//输出子串的数目
                printf("%d(",(r-l+1)/(k-l+1));
                print(l,k);	//输出子串内容
                printf(")");
                return ;
            }
        }   
    }   
}
int main( )
{
    //记录位数占用几个字符数
    for(int i=0;i<100;i++)
    {
        if(i<10) cnt[i]=1;
        else cnt[i]=2;
    }
    cnt[100]=3;
    
    cin>>s;
    n=s.size();
    s=' '+s;
    
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++)
        {
            int r=l+len-1;
            if(l==r) f[l][r]=1; //单个字符长度为1
            else{
                for(int k=l;k<r;k++)
                {
                    f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);
                    if(sub(l,k,l,r) && (r-l+1)%(k-l+1)==0)
                    {
                    	//(r-l+1)/(k-l+1)表示整个字符串是子串的几倍长,+2表示双括号的长度为2
                        f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+2+cnt[(r-l+1)/(k-l+1)]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    //print(1,n);
    cout<<f[1][n];
    return 0;
}
### 关于SCOI2005 互不侵犯问题的DFS解法 对于SCOI2005 互不侵犯这一问题,采用深度优先搜索(DFS)的方法同样能够解决问题。这种方法通过尝试每一种可能的情况来寻找满足条件的结果。 #### DFS解题思路 在解决此问题时,DFS算法会逐行放置国王,并确保任何两个国王之间不会互相攻击。具体来说: - 使用二进制数表示每一行的状态,其中`1`代表当前位置已放置国王,`0`则为空白。 - 对于每一个新的行,在所有未被先前行中的国王威胁的位置上尝试放置新国王。 - 如果当前行的所有列都遍历完毕,则回溯至上一行继续探索其他可能性。 - 当成功放置了指定数量的国王后,计数器加一;如果某次递归达到了最后一行且仍未完成目标,则返回并调整之前的决策。 为了提高效率,还需要提前计算出哪些状态是合法的——即不存在连续两位都是`1`的状态,这可以通过简单的枚举实现[^4]。 #### Python代码实现 下面是一个基于上述逻辑编写的Python程序片段用于求解该问题: ```python def dfs(row, col_mask, left_diag, right_diag): global n, k, ans if row == n: if sum(bin(col)[2:].count('1') for col in cols) == k: ans += 1 return for i in range(1 << n): if bin(i).count('1') + sum(cols[:row]) > k: continue ok = ((~col_mask & ~left_diag & ~right_diag & (i)) == i) if not ok or '11' in bin(i): continue new_col_mask = col_mask | i new_left_diag = (left_diag | i) << 1 new_right_diag = (right_diag | i) >> 1 dfs(row + 1, new_col_mask, new_left_diag, new_right_diag) n, k = map(int, input().split()) cols = [0]*n ans = 0 dfs(0, 0, 0, 0) print(ans) ``` 这段代码定义了一个名为`dfs()`函数来进行深度优先搜索,它接收四个参数分别表示当前处理的是哪一行(`row`)、当前列上的占用情况(`col_mask`)、左斜线方向上的占用情况(`left_diag`)以及右斜线方向上的占用情况(`right_diag`)。全局变量`n`, `k`用来保存棋盘大小和要放置的国王数目,而`ans`则是最终答案的数量。
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