C循环_c 循环 mod-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Jay_fearless/article/details/113826209

本文探讨了如何使用扩展欧几里得算法解决模线性同余方程ax ≡ b (mod 2^k)，并给出了C++代码实现。在k循环条件下，通过分析(b-a)与最大公约数d的关系，确定解的存在性和求解最小正余数的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析

每次输入a,b,c,k
询问a是否能通过+c得到b(k循环条件下)
$a+cx\equiv b \bmod 2^{k}$
上式等价于：
$cx-2^{k}y=b-a$ 令z=2^{k}得到：
$c x - z y = b - a$

因为要求 x,y 两个未知量因此使用扩展欧几里得算法exgcd(c,z,x,y)
求出d: $d = e x g c d (c, z, x, y) (d 为 (c, z) 最大公约数)$
(b-a)如果不为d的倍数，说明不存在这样一个解，输出"FOREVER"
(b-a)为d的倍数的话，要把x,y扩大相应倍数：
$x=x\cdot \frac{b-a}{d},y=y\cdot \frac{b-a}{d}$

此时要求出解x，x等价于： $x=x_{0}+k\frac{z}{d}$
最小的x等价于求x的正余数：(x%z + z) % z

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,c,k;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    while(cin>>a>>b>>c>>k,a||b||c||k)
    {
        LL x,y;
        LL z=(1ll<<k);
        LL d=exgcd(c,z,x,y);
        cout<<(b-a)<<" "<<d<<endl;
        if((b-a)%d) puts("FOREVER");    //(b-a)不是d的倍数，直接退出
        else{
            x*=(b-a)/d;
            y*=(b-a)/d;
            z/=d;
            cout<<(x%z+z)%z<<endl;      //求最小正余数
        }
    }
    return 0;
}