NOI2002荒岛野人 (savage) 扩展欧几里得_荒岛野人 csdn-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Jay_fearless/article/details/113828068

本文探讨了如何通过数学手段分析野人间的相遇条件，利用同余方程确保他们永不相遇。关键在于找到无解或解的策略，确保解决方案比任意野人寿命更长。C++代码展示了这个过程，包括欧几里得算法和判断x与生存时间的关系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析

假设野人i,j在某一年相遇了，则出现： $man[i].c+x∗man[i].p\equiv man[j].c+x∗man[j].p(\bmod m)$
如果要让他们不相遇，则需要让这个同余方程无解，或解出的最小的x比两个人中任何一人的寿命长。
将上式变形得到： $x * (m a n [i] . p - m a n [j] . p) - y * m = (m a n [j] . c - m a n [i] . c)$
令a=man[i].p-man[j].p,b=man[j].c-man[i].c
原式变为: $x * a - y * m = b$
解得d如果不能被b整除，说明无解，继续向下判断(continue);
否则求出最小的x,如果x小于0，则需要+abs(m/d)求出大于0的最小值。

判断此时x和两个野人的生存时间关系，最小的x比两个人中任何一人的寿命长不成立，直接退出.

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m;
struct node{
    int c,p,l;
}man[20];
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1ll,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
bool flag;
bool jdg(int x,int i,int j)
{
    flag=true;
    if (x<=min(man[i].l,man[j].l)) //最小的x比两个人中任何一人的寿命长 不成立，直接退出
    {
        flag=false;
        return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>man[i].c>>man[i].p>>man[i].l;
        m=max(m,man[i].c);
    }
    if(n==1)    //只有一个野人，则只需要一个洞
    {
        puts("1");
        return 0;
    }
    while(1)
    {
        flag=true;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<n;j++)
            {
                LL x,y,a,b;
                a=man[i].p-man[j].p;
                b=man[j].c-man[i].c;
                LL d=exgcd(a,m,x,y);
                
                if(b%d) continue;   //无解，继续判断
                x*=b/d;
                x=x%(m/d);
                if(x<0) x+=abs(m/d);
                if(!jdg(x,i,j)) break;
            }
            if(!flag) break;
        }
        
        if(flag)    //所有野人的关系均成立，则输出这个m
        {
            cout<<m<<endl;
            return 0;
        }
        m++;    //m++进入下一次大循环
    }
    
    return 0;
}