连续型随机变量的数字特征

本文记录连续型随机变量的分布，以及数字特征

均匀分布

设随机变量 $X$ 在区间 $[a,b]$ 上均匀分布，则其概率密度函数（PDF）为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& \text{if }a\le x\le b\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$
期望：$E(X)=\frac{a+b}{2}$
方差：$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

指数分布

指数分布是一种连续概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔，尤其是在独立的随机事件中，例如放射性衰变、电话呼叫到达等。它是泊松过程中的时间间隔分布。

如果随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则其概率密度函数（PDF）为：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& \text{if }x\ge 0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

其中：

• $\lambda >0$ 是事件发生的平均率（也称为速率参数）。

期望：$E(X)=\frac{1}{\lambda }$
方差：$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

正态分布

正态分布（又称高斯分布）是一种重要的连续概率分布，广泛应用于统计学、自然科学和社会科学等领域。它通常用于描述自然现象中的随机变量，例如测量误差和自然特征的分布。

设随机变量 $X$ 服从均值为 $\mu$ 和方差为${\sigma }^2$ 的正态分布，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则其概率密度函数（PDF）为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

期望：$E(X)=\mu$
方差：$D(X)={\sigma }^2$

当 $\mu =0$ 且$\sigma =1$时，正态分布称为标准正态分布，记作 $Z\sim N(0,1)$，其概率密度函数为：

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$$

期望：$E(X)=0$
方差：$D(X)=1$.

其他数字特征

设随机变量 $X$ 的分布函数是 $F(x)$
F(μ1)=P{X≤μ1}=12 F(\mu_1) = P\{X \leq \mu_1\} = \frac{1}{2} F(μ1​)=P{X≤μ1​}=21​
则 ${\mu }_1$ 称为中位数(medium)。

设随机变量$X$ 的概率密度函数是 $f(x)$，使得$f(x)$ 达到最大值的点${\mu }_2$ 称为众数(mode)。

对于正态分布来说，$\mu$ 即使中位数，也是众数。

至此结束。