泊松分布的原理和应用

本文介绍泊松分布，及其推导原理。

Ref: 泊松分布

泊松分布的分布律如下：
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$
其中：

• $X\sim \text{Poisson}(\lambda )$
• $\lambda$ 是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数，$\lambda$ > 0
• e 是自然对数的底数（约等于 2.71828）

问题：那么如何理解该分布呢，如何跟实际场景结合？

首先我们先验证一下是否所有概率之和是否等于 1。

已知幂级数展开公式：
$$e^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$$
可得：
$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=1$$

问题：$\lambda$和二项分布中的 n,p 有什么关系？

泊松定理 $n$ 重伯努利试验中，试验次数 $n$ 足够大，每次试验中事件发生的概率 $p$ 很小，事件发生的次数 $X\sim b(n,p)$，则 X 近似服从参数 $\lambda =np$ 的泊松分布。

为了更好地理解，我们先看二项分布：
$$X\sim b(n,p)$$
P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! , 其中 λ = n p P\{X = k\} = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, 其中 \lambda = np P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k≈k!λke−λ​,其中λ=np

推导过程：(n 趋近于无穷大)
P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! ⋅ ( λ n ) k ⋅ ( 1 − λ n ) n − k = λ k k ! ⋅ n ⋅ ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n ⋅ n ⋯ n ⋅ ( 1 − λ n ) − k ⋅ ( 1 − λ n ) n = λ k k ! ⋅ ( 1 − 1 n ) ⋅ ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) ⋅ ( 1 − λ n ) − k ⋅ ( 1 − λ n ) n = λ k k ! ⋅ lim ⁡ n → ∞ ( 1 − λ n ) n = λ k k ! ⋅ e − λ \begin{aligned} P\{X = k\} &= \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \\ &=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)}{n \cdot n\cdots n} \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \cdot (1- \frac{\lambda}{n})^n \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot (1-\frac{2}{n}) \cdots (1-\frac{k-1}{n}) \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \cdot (1- \frac{\lambda}{n})^n \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot \displaystyle \lim_{n \to \infty}(1-{\frac{\lambda}{n}})^n \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} \end{aligned} P{X=k}​=(kn​)pk(1−p)n−k=k!n(n−1)...(n−k+1)​⋅(nλ​)k⋅(1−nλ​)n−k=k!λk​⋅n⋅n⋯nn⋅(n−1)⋯(n−k+1)​⋅(1−nλ​)−k⋅(1−nλ​)n=k!λk​⋅(1−n1​)⋅(1−n2​)⋯(1−nk−1​)⋅(1−nλ​)−k⋅(1−nλ​)n=k!λk​⋅n→∞lim​(1−nλ​)n=k!λk​⋅e−λ​

有上述推导可以知道泊松分布与二项分布的关系.

问题：能否以具体的实际例子来阐述推导过程？

举个栗子：
某平台线上客服，平均一分钟有 4 条咨询($\lambda =4$)。

虽然知道平均次数，但每分钟记录一次，那到底有多少次咨询呢，此时次数自然是个随机变量$X$。那这个随机变量 $X$ 的分布具体是怎样呢

考虑每个时段的概率相同，则有：
若每 10 秒记录一次(n=6)，每个10秒有咨询的概率(p=$\frac{4}{6}$)

一分钟内的咨询数： $X\sim b(6,\frac{4}{6})$.

则随机变量 X 的分布律为：
P { X = k } = ( 6 k ) ⋅ ( 4 6 ) k ⋅ ( 2 6 ) 6 − k , 其中 k = 0 , 1 , ⋯   , 6 P\{X=k\} = \binom{6}{k} \cdot (\frac{4}{6})^k \cdot (\frac{2}{6})^{6-k}, 其中 k=0,1,\cdots,6 P{X=k}=(k6​)⋅(64​)k⋅(62​)6−k,其中k=0,1,⋯,6

问题：最多咨询6次是不是太少了？每10秒记录一次是不是不合理呢？

增加试验次数，若每 1 秒记录一次(n=60)
$$X\sim b(60,\frac{4}{60})$$

即使是每1秒记录一次，也会觉得不够细，继续增加记录次数，
若每 1/60 秒记录一次(n=3600)
$$X\sim b(3600,\frac{4}{3600})$$

可以发现，随着记录次数的增加，分布律也逐步逼近，不再发生太大的变化了。

为了保证每个时间段只有 “0或1”，（0表示没有咨询，1表示有1次咨询）

只要我们时间段分割的足够小，每个时间段就要么是 0次咨询，要么是1次咨询。不会出现2 或者更多的咨询（因为时间段足够小）。

上述描述对应的数学表达式：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}$$
其中，$\lambda =np$ 或 $p=\frac{\lambda }{n}$.

总结：

• 在一段时间里发生频数相对固定
• 单位时间内发生的概率较小
• 在一段时间内的平均发生次数和时间长度成正比

相关举例：服务器一秒内接收到的访问请求次数；美国西部一周内发生的地震次数；放射性材料在24小时内放射出来的$\alpha$粒子数

至此结束。