随机变量的数字特征

文章记录了一些离散型随机变量分布，以及对应的期望和方差。

以实际场景为例

进行 n 次独立重复试验，其中每次成功的概率为 p, 失败的概率为 1-p.

场景一：0-1 分布

每一次实验中成功的次数 $X_i$，服从 0-1 分布。即：
$$X_i\sim \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1-p& p\end{array}\right)$$
期望：$E(X_i)=p$
方差：$D(X_i)=p(1-p)$

场景二：二项分布

n 次实验中成功的次数 X，服从二项分布。即：
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$
其中：

• $X\sim \text{Binomial}(n,p)$
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 表示组合数（从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次成功的组合数
• $p$ 是单次试验成功的概率，$0\le p\le 1$
• $n$ 是试验总次数

期望：$E(X)=np$
方差：$D(X)=np(1-p)$

注意：二项分布的 X 可以表示多个 0-1 分布$X_i$的和，即 $X={\sum }_{k=1}^n{X}_k$.

场景三：泊松分布

很多次试验（n趋近于无穷大）时成功的次数 X，服从泊松分布。即：
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots$$
其中：

• $X\sim \text{Poisson}(\lambda )$
• $\lambda$ 是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数，$\lambda$ > 0.

取自：gpt，结合示例可以理解为 $\lambda =np$，即期望平均成功次数$

• e 是自然对数的底数（约等于 2.71828）

期望：$E(X)=\lambda$
方差：$D(X)=\lambda$

场景四：几何分布

首次成功时已进行的试验次数 X，服从几何分布。即：
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$$
其中：

• $X\sim \text{Geometric}(p)$
• $p$ 是单次试验中成功的概率，$0<p\le 1$

期望：$E(X)=\frac{1}{p}$
方差：$D(X)=\frac{1-p}{p^2}$

场景五：负二项分布

累计成功 r 次时已进行的试验次数 X 服从负二项分布。即：
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1}\right)p^k(1-p{)}^{k-r},k=r,r+1,\dots$$
期望：$E(X)=\frac{r}{p}$
方差：$D(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$

至此，结束。

（待更新连续型随机变量的数字特征）