AcWing 896. 最长上升子序列 II（贪心 + 二分 lower_bound）

本题是AcWing 895. 最长上升子序列的数据强化版，数据范围 n <= 1e5，可知原来 O(n ^ 2) 的做法已经行不通了。因此我们至少应当将时间复杂度控制在 O(nlogn) 以内。

思路：

贪心 + 二分（二分查找思想回顾）

贪心思想：对于 最大上升子序列，结尾元素越小，越 有利于后面接上其他的数，也就 变得更长。

贪心策略：建立一个 q 数组，元素 q[i] 表示 长度为 i 的 LIS 结尾元素 的 最小值，因此我们只需要维护 q 数组即可。

具体措施：

设 原数组为 a，q 数组中元素 q[i] 表示 长度为 i 的 LIS 结尾元素 的 最小值，q 数组长度为 len。

首先数组 a 中存入 n 元素，数组 q 用来存结果，最终 数组 q 的长度 len 就是最终的答案。

假如数组 q 现在存了数，当到了数组 a 的第 i 个位置时，首先判断 a[i]>q[len] ，若大于，则直接将这个数添加到数组 q 末尾，即 q[++len]=a[i]。

当 a[i]<=q[len] 时，我们就用 a[i] 去替代数组 q 中的 大于等于 a[i] 的第一个数，因为在整个过程中 ，数组 q 是一个递增的数组，所以我们可以用 二分查找 在 O(logn) 的时间复杂度下 找到目标位置，然后覆盖，即：q[l] = a[i]。

用 a[i] 覆盖 q[l] 含义：以 a[i] 为最后一个数 的 LIS，其中元素 个数为 l 个。

遍历完整个数组 a 后 我们就可以得到 最终的结果：len。

时间复杂度：

$O(nlogn)$

代码：

这里给出三种做法，前两种是本文介绍的做法，第三种有点不一样，但是更好写，推荐比赛时候使用

① 利用 STL 的二分库函数 lower_bound

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    q[++len] = a[1];
    
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(a[i]>q[len]) q[++len] = a[i];
        
        else q[lower_bound(q+1, q+len+1, a[i])-q] = a[i];
    }

    cout<<len<<endl;
    
    return 0;
}

② 手打二分函数

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    q[++len] = a[1];
    
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(a[i]>q[len]) q[++len] = a[i];
        else
        {
            int l = 1, r = len;
            while(l<r)
            {
                int mid = l+r>>1;
                if(q[mid]>=a[i]) r = mid;
                else l = mid+1;
            }
            q[r] = a[i];
        }
    }

    cout<<len<<endl;
    
    return 0;
}

③ 目前为止感觉很简便的写法 减少了判断 很好理解 思想与上文中略有不同

• 下标从 1 开始

//lower_bound：
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int t = lower_bound(q+1, q+len+1, a[i]) - q;
        q[t] = a[i];
        if(t>len) ++len; //查找到了 q 数组末尾元素的下一个位置，说明没找到目标，则将 a[i] 添加至末尾元素的下一个位置，长度 len+1
    }

    cout<<len<<endl;
    
    return 0;
}
//手打二分：
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int l = 1, r = len+1;
        while(l<r)
        {
            int mid = l+r>>1;
            if(q[mid]>=a[i]) r = mid;
            else l = mid+1;
        }
        q[l] = a[i];
        if(l>len) ++len;
    }
    
    cout<<len<<endl;
    
    return 0;
}

• 下标从 0 开始

//lower_bound：
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    
    for(int i=0; i<n; ++i)
    {
        int t = lower_bound(q+1, q+len+1, a[i]) - q;
        q[t] = a[i];
        if(t>len) ++len; //查找到了 q 数组末尾元素的下一个位置，说明没找到目标，则将 a[i] 添加至末尾元素的下一个位置，长度 len+1
    }

    cout<<len<<endl;
    
    return 0;
}
//手打二分
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    
    for(int i=0; i<n; ++i)
    {
        int l = 1, r = len+1;
        while(l<r)
        {
            int mid = l+r>>1;
            if(q[mid]>=a[i]) r = mid;
            else l = mid+1;
        }
        q[l] = a[i];
        if(l>len) ++len;
    }

    cout<<len<<endl;
    
    return 0;
}