题目看这里
一个非常好的题!
好的,看到题目就很懵逼
首先这个f不就是
ϕ
ϕ
吗,认真一看才发现不对
让后问题?f(lcm)*f(gcd)?
肯定有问题,推了一会没有结论,去看看题解:
有这么一个神奇结论
f(gcd(x,y))∗f(lcm(x,y))=f(x)∗f(y)
f
(
g
c
d
(
x
,
y
)
)
∗
f
(
l
c
m
(
x
,
y
)
)
=
f
(
x
)
∗
f
(
y
)
推导一下?大概就是这样:首先f是积性函数,那么
f(x)=Πki=1f(paii)
f
(
x
)
=
Π
i
=
1
k
f
(
p
i
a
i
)
同理
f(gcd(x,y))=Πki=1f(pmin(ai,bi)i)
f
(
g
c
d
(
x
,
y
)
)
=
Π
i
=
1
k
f
(
p
i
m
i
n
(
a
i
,
b
i
)
)
f(lcm(x,y))=Πki=1f(pmax(ai,bi)i)
f
(
l
c
m
(
x
,
y
)
)
=
Π
i
=
1
k
f
(
p
i
m
a
x
(
a
i
,
b
i
)
)
那么因为
max(a,b)+min(a,b)=a+b
m
a
x
(
a
,
b
)
+
m
i
n
(
a
,
b
)
=
a
+
b
f(gcd(x,y))∗f(lcm(x,y))=Πki=1f(pai+bii)=f(x)∗f(y)
f
(
g
c
d
(
x
,
y
)
)
∗
f
(
l
c
m
(
x
,
y
)
)
=
Π
i
=
1
k
f
(
p
i
a
i
+
b
i
)
=
f
(
x
)
∗
f
(
y
)
所以原式变成了
(∑ni=1f(i))2
(
∑
i
=
1
n
f
(
i
)
)
2
是不是又可以杜教筛辣
别急,还有一步很精彩
我们要找一个函数和他做狄利克雷卷积
是不是发现f和
ϕ
ϕ
很像?没错
(ϕ∗f)(x)=∑d|xϕ(d)∗f(xd)
(
ϕ
∗
f
)
(
x
)
=
∑
d
|
x
ϕ
(
d
)
∗
f
(
x
d
)
=∑d|xϕ(d)∗∑i|xdi∗μ(i)
=
∑
d
|
x
ϕ
(
d
)
∗
∑
i
|
x
d
i
∗
μ
(
i
)
=∑i∗d|xϕ(d)∗i∗μ(i)
=
∑
i
∗
d
|
x
ϕ
(
d
)
∗
i
∗
μ
(
i
)
=∑i|xi∗μ(i)∗∑d|xiϕ(d)
=
∑
i
|
x
i
∗
μ
(
i
)
∗
∑
d
|
x
i
ϕ
(
d
)
=∑i|xi∗μ(i)∗xi
=
∑
i
|
x
i
∗
μ
(
i
)
∗
x
i
=x∗∑i|xμ(i)=[n=1]
=
x
∗
∑
i
|
x
μ
(
i
)
=
[
n
=
1
]
剩下的部分参考杜教筛简易教程
#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<map>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 10000010
#define LL long long
#define M 1000000007
using namespace std;
map<int,int> p,f;
int n,phi[N],d[N],w[N>>3],t=0;
inline void init(){
d[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=10000000;++i){
if(!phi[i]){ phi[w[++t]=i]=i-1; d[i]=1-i; }
for(int j=1,k;j<=t && (k=i*w[j])<=10000000;++j){
if(i%w[j]==0){ phi[k]=phi[i]*w[j]; d[k]=d[i]; break; }
phi[k]=phi[i]*(w[j]-1); d[k]=d[i]*(1-w[j]);
}
phi[i]=(phi[i-1]+phi[i])%M; d[i]=(d[i-1]+d[i])%M;
}
}
inline int gP(int x){
if(x<=10000000) return phi[x];
if(p.count(x)) return p[x];
int s=((LL)x*(x+1)>>1)%M;
for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
j=x/(x/i);
s=(s-gP(x/i)*(j-i+1ll)%M+M)%M;
}
return p[x]=s;
}
inline int gF(int x){
if(x<=10000000) return d[x];
if(f.count(x)) return f[x];
LL s=1;
for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
j=x/(x/i);
s=(s-gF(x/i)*((LL)gP(j)-gP(i-1)+M)%M+M)%M;
}
return f[x]=s;
}
int main(){
scanf("%d",&n); init();
printf("%d\n",(LL)gF(n)*gF(n)%M);
}