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#莫比乌斯反演 #数论 #扩展的灰

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本文探讨了一道关于数论函数的题目，揭示了f(gcd(x,y)) * f(lcm(x,y)) = f(x) * f(y)这一神奇结论，并通过积性函数的性质和莫比乌斯反演进行推导。通过引入狄利克雷卷积，展示了如何利用这一结论简化计算。" 106475998,7386347,Go语言字符类型与Unicode详解,"['Go语言编程', '字符编码', 'Unicode', '数据类型']

题目看这里
一个非常好的题！
好的，看到题目就很懵逼
首先这个f不就是 $\phi$ 吗，认真一看才发现不对
让后问题？f(lcm)*f(gcd)?
肯定有问题，推了一会没有结论，去看看题解：
有这么一个神奇结论 $f(gcd(x,y))*f(lcm(x,y))=f(x)*f(y)$
推导一下？大概就是这样：首先f是积性函数，那么
$f(x)=\Pi_{i=1}^kf(p_i^{a_i})$
同理
$f(gcd(x,y))=\Pi_{i=1}^kf(p_i^{min(a_i,b_i)})$
$f(lcm(x,y))=\Pi_{i=1}^kf(p_i^{max(a_i,b_i)})$
那么因为 $max(a,b)+min(a,b)=a+b$
$f(gcd(x,y))*f(lcm(x,y))=\Pi_{i=1}^kf(p_i^{a_i+b_i})=f(x)*f(y)$
所以原式变成了 $(\sum_{i=1}^nf(i))^2$ 是不是又可以杜教筛辣
别急，还有一步很精彩
我们要找一个函数和他做狄利克雷卷积
是不是发现f和 $\phi$ 很像？没错
$(\phi*f)(x)=\sum_{d|x}\phi(d)*f(\frac{x}{d})$
$=\sum_{d|x}\phi(d)*\sum_{i|\frac{x}{d}}i*\mu(i)$
$=\sum_{i*d|x}\phi(d)*i*\mu(i)$
$=\sum_{i|x}i*\mu(i)*\sum_{d|\frac{x}{i}}\phi(d)$
$=\sum_{i|x}i*\mu(i)*\frac{x}{i}$
$=x*\sum_{i|x}\mu(i)=[n=1]$

剩下的部分参考杜教筛简易教程

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<map> 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 10000010
#define LL long long
#define M 1000000007
using namespace std;
map<int,int> p,f; 
int n,phi[N],d[N],w[N>>3],t=0;
inline void init(){
    d[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;++i){
        if(!phi[i]){ phi[w[++t]=i]=i-1; d[i]=1-i; }
        for(int j=1,k;j<=t && (k=i*w[j])<=10000000;++j){
            if(i%w[j]==0){ phi[k]=phi[i]*w[j]; d[k]=d[i]; break; }
            phi[k]=phi[i]*(w[j]-1); d[k]=d[i]*(1-w[j]);
        }
        phi[i]=(phi[i-1]+phi[i])%M; d[i]=(d[i-1]+d[i])%M;
    }
}
inline int gP(int x){
    if(x<=10000000) return phi[x];
    if(p.count(x)) return p[x];
    int s=((LL)x*(x+1)>>1)%M;
    for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        s=(s-gP(x/i)*(j-i+1ll)%M+M)%M;
    }
    return p[x]=s;
}
inline int gF(int x){
    if(x<=10000000) return d[x];
    if(f.count(x)) return f[x];
    LL s=1;
    for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        s=(s-gF(x/i)*((LL)gP(j)-gP(i-1)+M)%M+M)%M;
    }
    return f[x]=s;
}
int main(){
    scanf("%d",&n); init();
    printf("%d\n",(LL)gF(n)*gF(n)%M);
}