51Nod2026 Gcd and Lcm

本文探讨了一道关于数论函数的题目,揭示了f(gcd(x,y)) * f(lcm(x,y)) = f(x) * f(y)这一神奇结论,并通过积性函数的性质和莫比乌斯反演进行推导。通过引入狄利克雷卷积,展示了如何利用这一结论简化计算。" 106475998,7386347,Go语言字符类型与Unicode详解,"['Go语言编程', '字符编码', 'Unicode', '数据类型']

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题目看这里
一个非常好的题!
好的,看到题目就很懵逼
首先这个f不就是 ϕ ϕ 吗,认真一看才发现不对
让后问题?f(lcm)*f(gcd)?
肯定有问题,推了一会没有结论,去看看题解:
有这么一个神奇结论 f(gcd(x,y))f(lcm(x,y))=f(x)f(y) f ( g c d ( x , y ) ) ∗ f ( l c m ( x , y ) ) = f ( x ) ∗ f ( y )
推导一下?大概就是这样:首先f是积性函数,那么
f(x)=Πki=1f(paii) f ( x ) = Π i = 1 k f ( p i a i )
同理
f(gcd(x,y))=Πki=1f(pmin(ai,bi)i) f ( g c d ( x , y ) ) = Π i = 1 k f ( p i m i n ( a i , b i ) )
f(lcm(x,y))=Πki=1f(pmax(ai,bi)i) f ( l c m ( x , y ) ) = Π i = 1 k f ( p i m a x ( a i , b i ) )
那么因为 max(a,b)+min(a,b)=a+b m a x ( a , b ) + m i n ( a , b ) = a + b
f(gcd(x,y))f(lcm(x,y))=Πki=1f(pai+bii)=f(x)f(y) f ( g c d ( x , y ) ) ∗ f ( l c m ( x , y ) ) = Π i = 1 k f ( p i a i + b i ) = f ( x ) ∗ f ( y )
所以原式变成了 (ni=1f(i))2 ( ∑ i = 1 n f ( i ) ) 2 是不是又可以杜教筛辣
别急,还有一步很精彩
我们要找一个函数和他做狄利克雷卷积
是不是发现f和 ϕ ϕ 很像?没错
(ϕf)(x)=d|xϕ(d)f(xd) ( ϕ ∗ f ) ( x ) = ∑ d | x ϕ ( d ) ∗ f ( x d )
=d|xϕ(d)i|xdiμ(i) = ∑ d | x ϕ ( d ) ∗ ∑ i | x d i ∗ μ ( i )
=id|xϕ(d)iμ(i) = ∑ i ∗ d | x ϕ ( d ) ∗ i ∗ μ ( i )
=i|xiμ(i)d|xiϕ(d) = ∑ i | x i ∗ μ ( i ) ∗ ∑ d | x i ϕ ( d )
=i|xiμ(i)xi = ∑ i | x i ∗ μ ( i ) ∗ x i
=xi|xμ(i)=[n=1] = x ∗ ∑ i | x μ ( i ) = [ n = 1 ]

剩下的部分参考杜教筛简易教程

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<map> 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 10000010
#define LL long long
#define M 1000000007
using namespace std;
map<int,int> p,f; 
int n,phi[N],d[N],w[N>>3],t=0;
inline void init(){
    d[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;++i){
        if(!phi[i]){ phi[w[++t]=i]=i-1; d[i]=1-i; }
        for(int j=1,k;j<=t && (k=i*w[j])<=10000000;++j){
            if(i%w[j]==0){ phi[k]=phi[i]*w[j]; d[k]=d[i]; break; }
            phi[k]=phi[i]*(w[j]-1); d[k]=d[i]*(1-w[j]);
        }
        phi[i]=(phi[i-1]+phi[i])%M; d[i]=(d[i-1]+d[i])%M;
    }
}
inline int gP(int x){
    if(x<=10000000) return phi[x];
    if(p.count(x)) return p[x];
    int s=((LL)x*(x+1)>>1)%M;
    for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        s=(s-gP(x/i)*(j-i+1ll)%M+M)%M;
    }
    return p[x]=s;
}
inline int gF(int x){
    if(x<=10000000) return d[x];
    if(f.count(x)) return f[x];
    LL s=1;
    for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        s=(s-gF(x/i)*((LL)gP(j)-gP(i-1)+M)%M+M)%M;
    }
    return f[x]=s;
}
int main(){
    scanf("%d",&n); init();
    printf("%d\n",(LL)gF(n)*gF(n)%M);
}
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