[笔记]杜教筛核心原理

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)$
$=\sum_{d=1}^nd*f(d)$
$=\sum_{d=1}^nd*\sum_{d|j}\mu(j/d)*F(d)$
$=\sum_{i\times j<=n}i*\mu(j)*F(i*j)$
$=\sum_{T=1}^nF(T)*\phi(T)$
$=\sum_{T=1}^n\big[\frac{n}{T}\big]\big[\frac{m}{T}\big]\phi(T)$

———-杜教筛：
已知问题：

$$S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$$
取一个积性函数g使得f*g方便计算前缀和并做如下变换 $$(g*f)(i)=\sum_{d|i}f(d)*g(i/d)$$
$$\sum_{i=1}^n(g*f)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)*g(i/d)$$
$$=\sum_{i*j<=n}f(i)*g(j)$$
$$=\sum_{i=1}^ng(i)\sum_{j=1}^{n/i}f(j)$$
$$=\sum_{i=1}^ng(i)*S(n/i)$$
就可以得到
$$S(n)=1*S(n)=g(1)*S(n)$$
$$=\sum_{i=1}^ng(i)*S(n/i)-\sum_{i=2}^ng(i)*S(n/i)$$
$$=\sum_{i=1}^n(g*f)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)*S(n/i)$$
后面就是递归计算了，注意要记忆化S