杜教筛法的原理

最新推荐文章于 2021-10-29 22:16:09 发布
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分类专栏： 杜教筛法
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比如说要求一个数论函数f的前N项和，记S(n)=Σf[i] 其中i输入1到n

需要一个辅助函数g

那么：

考虑一下这个式子怎么理解，我自己的想法是考虑g[i]对答案的贡献，那么显然是对f[i*2],f[i*3],f[i*4]这样的，但是这个i*j不能超过n

那么把右边那个求和的i从1变成i从2，那么两式子相减就是g[1]*s[n]

比如说求mu，phi这样的函数，g就取1就好了

[笔记]杜教筛核心原理
扩展の灰(Extended Ash/Cooevjnz)
07-29 490
∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j) =∑nd=1d∗f(d)=∑d=1nd∗f(d)=\sum_{d=1}^nd*f(d) =∑nd=1d∗∑d|jμ(j/d)∗F(d)=∑d=1nd∗∑d|jμ(j/d)∗F(d)=\sum_{d=1}^nd*\sum_{d|j}\mu(j/d)*F(d) ...
积性函数&数论分块&迪利克雷卷积&杜教筛&莫比乌斯函数及其反演
m0_49959202的博客
09-19 871
文章目录积性函数&数论分块&迪利克雷卷积&杜教筛&莫比乌斯函数及其反演1. 算法分析1.1 积性函数1.1.1 定义1.1.2 常见积性函数1.1.3 常见完全积性函数1.2 迪利克雷卷积1.3 数论分块1.4 杜教筛1.5 莫比乌斯反演1.6 数论公式推导套路小结2. 板子2.1 数论分块(整除分块)2.1.1 一维分块2.1.2 二维分块2.2 筛法求莫比乌斯函数3. 典型例题3.1 数论分块3.2 杜教筛3.3 莫比乌斯函数 积性函数&数论分块&迪利克雷
[学习笔记]杜教筛法的原理
女装的你，如此好看！
08-30 583
一、引入 通常，在莫比乌斯反演的题目中会推出下面这样的式子： ∑i=1n⌊ni⌋f(i)∑i=1n⌊ni⌋f(i)\sum_{i=1}^n\lfloor\frac ni\rfloor f(i) 其中 fff 是积性函数。 我们知道，当 1≤i≤n1≤i≤n1\le i\le n 时 ⌊ni⌋⌊ni⌋\lfloor\frac ni\rfloor 的取值只有 O(n−−√)O(n)O(\sqr...
杜教筛
自以为心若顽石，却终究人非草木。
07-09 843
杜教筛 （似乎有很多人在催我的杜教筛呢......） 前言 话说，我是不是在自己的莫比乌斯反演中挖了许多杜教筛的坑啊...... 本文完整的总结介绍杜教筛，也算是将莫比乌斯反演中的坑全部填满吧！ 真诚地希望来阅读这篇学习笔记的每一个人，仔仔细细的看完每一段。 我相信，只要认真的看完整篇文章并跟着一起思考的读者，一定能够有所收获！ 如果您之前不会杜教筛，那么我希望这篇文章能够作为您学习...
杜教筛入门
pupuvovovovo的博客
08-04 509
以下主要的话都用无序列表表示。 # 钦定你已经可以再O(n−−√)O(n)O(\sqrt{n})的复杂度内求出： ∑i=1n⌊ni⌋∑i=1n⌊ni⌋\sum_{i=1}^n{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} ∑i=1ni∗⌊ni⌋∑i=1ni∗⌊ni⌋\sum_{i=1}^n{i*\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} 对于第一个，先枚...
【算法分析】C++质数筛法的复杂性分析与优化方向
质数筛法是一种高效的算法，用于找出小于或等于给定数值N的所有质数。在IT和数论领域，这种筛法尤其重要，因为质数是构造其他数字以及实现数据安全的基石。理解质数筛法的基本概念，可以帮助我们优化算法，提升数据...
【算法优化之道】C++质数筛法：代码优化与调试技巧
质数筛法是计算质数的一种有效算法，尤其在生成大量质数时显示出其效率优势。简单来说，筛法通过剔除自然数中合数的方式，仅留下质数。它的核心思想类似于“筛子”，不断地“筛选”出质数。这一方法不仅在理论计算机...
【深入浅出算法】质数筛法的数学基础与C++实现
[【深入浅出算法】质数筛法的数学基础与C++实现](https://img-blog.csdnimg.cn/9243b5a8f9254f79813384a4d41b8057.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBASmVuRl9...
《算法竞赛中的初等数论》（五）正文 0x50筛法（ACM / OI / MO）（十五万字符数论书）
繁凡さん的博客
10-29 1万+
0x50 筛法 0x51 线性筛法 0x51.1 线性筛法求欧拉函数 0x51.2 线性筛求莫比乌斯函数 0x51.3 线性筛求约数个数函数 0x51.4 线性筛求约数和函数 0x52 杜教筛 0x52.1 杜教筛 0x52.2 求欧拉函数前缀和 0x52.3 求莫比乌斯函数前缀和 0x53 Min_25筛 0x54 洲阁筛
杜教筛简介
forezxl的博客
05-15 4692
杜教筛简介 %%%唐老师 %%%YYB 前置技能 莫比乌斯反演 用途&过程 在低于线性的时间内求出一些积性函数的前缀和。 假设我们现在要求一个积性函数的前缀和S(n)=∑ni=1f(i)S(n)=∑i=1nf(i)S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) 设一个积性函数g(i)g(i)g(i) 则 ∑i=1n(g∗f)(i)=∑i=1n∑d|ig(d)f(...
杜教筛详解
Deep_Kevin的娱乐空间
06-30 543
正题 杜教筛是用来解决某些积性函数求前缀和的问题的。 例如求 ∑i=1nμ(i)\sum_{i=1}^n \mu(i)∑i=1n​μ(i) 或者 ∑i=1nφ(i)\sum_{i=1}^n \varphi(i)∑i=1n​φ(i) 。 下面我们以 ∑i=1nμ(i)\sum_{i=1}^n \mu(i)∑i=1n​μ(i) 为例子，详细说说杜教筛到底是如何运作的。 有 μ∗1=e\mu * 1=eμ∗1=e ，那么可以得到 ：1=∑i=1ne(i)=∑i=1nμ(i)∑j=1⌊ni⌋1(j)=∑i=1n∑j
bzoj 3944: Sum 杜教筛
beginend
01-21 698
题意分析直接用线性筛来求肯定不行，我们考虑别的方法。先来考虑ans2吧先来考虑ans2吧设S(n)=∑ni=1μ(i)设S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)根据μ的性质∑d|iμ(d)=0(i>1)或1(i=1)可得根据\mu的性质\sum_{d|i}\mu(d)=0(i>1)或1(i=1)可得∑ni=1∑d|iμ(d)=1\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)=1∑ni
【数论】筛素数
Shen_KN的博客
10-27 352
int m=sqrt(n+0.5); memset(vis,0 sizeof(vis)); for(int i=2;i<=m;i++){ if(!vis[i]) for(int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[i]=1; } //vis[i]=0的数即为素数
杜教筛详解：积性函数与欧拉函数在算法竞赛中的应用
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