一些些筛子（埃氏筛、线性筛、杜教筛）

有时我们需要求出一个范围内的质数，或者要计算一些积性函数的值，但往往题目无法承受直接判断质数、直接求函数值的时间复杂度，这时我们就可以用筛子了

入门级：埃氏筛

假设当前有一块板，板上写着 $2\sim n$ 的数，如果我们想快速找出质数，那么我们可以考虑标记那些合数，让划了斜线的数表示合数，于是我们从左往右依次看，当遇到一个质数时，就把后面他的所有的倍数都划上斜线，而这就是埃氏筛的原理

for(int i = 2; i <= n; i++)
    if(st[i] == 0)//判断是否为质数
        for(int j = 2 * i; j <= n; j += i)
            st[j] = 1; // j是i的一个倍数，j是合数，筛掉。

这是埃氏筛的简单实现，但我们又会发现，枚举一个更大的质数 $i$ 的倍数时，假设当前乘的 $j$，若 $j<i$ 那么当前枚举的这个倍数肯定会被之前的更小的质数枚举到，于是能够进一步优化：

//更快写法：
for(int i = 2; i <= n / i; i++)
    if(st[i] == 0)
        for(int j = i * i; j <= n; j += i)
            st[j] = 1; // j是i的一个倍数，j是合数，筛掉。

两个代码的时间复杂度分别为 $O(n\log \log n)$、（带点常数但近似于）$O(n)$

埃氏筛还是比较容易理解的，所以新手一般建议使用埃氏筛 QwQ

进阶：欧拉筛/线性筛

for(int i = 2; i <= n; ++i) {
    if(!vis[i]) pri[++cnt]=i;
    for(int j = 1; j <= cnt && pri[j] <= B/i; ++j) {
        vis[pri[j]*i]=1;
        if(i%pri[j] == 0) 
            break;
    }
}

其实，埃氏筛即使是第二种写法依旧会给一些合数进行多次筛除操作，比如在筛 $24$ 时，先用 $2\times 12$ 筛了一次，但又用 $3\times 8$ 筛了一次，所以我们使用欧拉筛，每次给当前数乘上一个质数使得乘质数为乘积的最小质因数，这样每个数就只会被筛一次了，因此时间复杂度为线性，$O(n)$，线性筛常用于求欧拉函数 $\phi$、莫比乌斯函数 $\mu$ 这些积性函数

特殊的筛

下面的筛子（目前只写了杜教筛 QwQ）用于一些特殊的用途，比如求积性函数的前缀和等等，算是高级算法

杜教筛

若现在要求积性函数 $f$ 的前缀和，设 $S(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$，再找一个积性函数 $g$，则考虑它们的狄利克雷卷积的前缀和：
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n(f+g)(i)\\ =& \sum _{i=1}^n\sum _{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\\ =& \sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)\\ =& \sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\end{array}$$
会发现 $d=1$ 时，$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor =n$，那么：
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
这就是杜教筛的核心式子了，在求积性函数 $f$ 的前缀和 $S$ 时，我们可以选择合适的积性函数 $g$ ，使得函数 $g$ 与 ${\sum }_{i=1}^n(f\ast g)(i)$ 的值方便计算，从而快速地数论分块+递归+记忆化算出 $S(n)$

当线性筛先筛到 $n^{\frac{2}{3}}$ 时，杜教筛的时间复杂度为 $O(n^{\frac{2}{3}})$，硬跑的时间复杂度为 $O(n^{\frac{3}{4}})$

ll GetSum(int n) { // 算 f 前缀和的函数
  ll ans = f_g_sum(n); // 算 f * g 的前缀和
  // 以下这个 for 循环是数论分块
  for(ll l = 2, r; l <= n; l = r + 1) { // 注意从 2 开始
    r = (n / (n / l)); 
    ans -= (g_sum(r) - g_sum(l - 1)) * GetSum(n / l);
    // g_sum 是 g 的前缀和
    // 递归 GetSum 求解
  } return ans; 
}

μ 的前缀和

因为 $\mu \ast 1=ϵ$，所以取 $f=\mu ,g=1$

$\phi$ 的前缀和

因为 $\phi \ast 1=Id$，所以取 $f=\phi ,g=1$

$\phi \ast Id$ 的前缀和

由于 $\left(\right(\phi \ast Id)\ast Id)(n)={\sum }_{d|n}\phi (d)\times d\times \frac{n}{d}=n\times {\sum }_{d|n}\phi (d)=n^2$，所以取 $f=\phi \ast Id,g=Id$