Jzoj3498 图形变换

最新推荐文章于 2025-11-24 19:27:00 发布

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#矩阵 #计算几何 #置换矩阵 #矩阵快速幂

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这道题目涉及图形变换的模拟，由于存在大量重叠的变换导致直接模拟会超时。通过引入置换矩阵和平移、放缩、旋转的表示，可以利用矩阵快速幂优化算法来高效解决。矩阵快速幂能有效处理嵌套循环中的多次变换操作。

对一个由n个点组成的图形连续作平移、缩放、旋转变换。相关操作定义如下：
Trans(dx,dy) 表示平移图形，即把图形上所有的点的横纵坐标分别加上dx和dy；
Scale(sx,sy) 表示缩放图形，即把图形上所有点的横纵坐标分别乘以sx和sy；
Rotate(θ,x0,y0) 表示旋转图形，即把图形上所有点的坐标绕(x0,y0)顺时针旋转θ角度
由于某些操作会重复运行多次，翔翔还定义了循环指令：
Loop(m)
…
End

表示把Loop和对应End之间的操作循环执行m次，循环可以嵌套。

这道题看似一到模拟题，但是很明显TLE

那么既然，看到类似于大量重叠的变换，自然想到矩阵快速幂

这里简单说一下置换矩阵：

假设我们用矩阵[x1,y1,1]表示一个点，那么分别对应三种操作的置换矩阵就是

平移：

[1,0,0]

[0,1,0]

[x,y,1]

放缩

[x,0,0]

[0,y,0]

[0,0,1]

旋转比较复杂

若旋转角为c

[cos c,sin c,0]

[-sin c,cos c,0]

[y*sin c-x*cos c+x,-y*cos c-x*sin c+y,1]

下面就交给矩阵快速幂搞定

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
struct Mat{
	int n,m;
	double s[3][3];
	inline void clear(){ memset(s,0,sizeof s); }
	inline double* operator[] (int i){ return s[i]; }
	inline void init(int x,int y){ n=x; m=y; memset(s,0,sizeof s); }
} s[110],A;
Mat operator* (Mat a,Mat b){
	Mat c; c.init(a.n,b.m);
	for(int i=0;i<a.n;++i)
		for(int j=0;j<b.m;++j)
			for(int k=0;k<a.m;++k)
				c.s[i][j]+=a.s[i][k]*b.s[k][j];
	return c;
}
Mat pow(Mat x,int k){
	Mat s; s.init(3,3);
	s[0][0]=s[1][1]=s[2][2]=1.;
	for(;k;x=x*x,k>>=1) if(k&1) s=s*x;
	return s;
}
Mat dfs(){
	Mat s,b; char c; int t;
	double x,y,cita,Sin,Cos;
	s.init(3,3); b.init(3,3);
	s[0][0]=s[1][1]=s[2][2]=1.;
	begin:
	if(scanf("%c",&c)==-1) return s;
	if(c=='E'){ scanf("nd\n"); return s; }
	if(c=='T') {
		scanf("rans(%lf,%lf)\n",&x,&y);
		b.clear(); b[0][0]=b[1][1]=b[2][2]=1.;
		b[2][0]=x; b[2][1]=y; s=s*b; 
	} else if(c=='S'){
		scanf("cale(%lf,%lf)\n",&x,&y);
		b.clear(); b[0][0]=x; b[1][1]=y; b[2][2]=1;
		s=s*b; 
	} else if(c=='R'){
		scanf("otate(%lf,%lf,%lf)\n",&cita,&x,&y);
		cita=(360.-cita)/180.*M_PI;
		Sin=sin(cita); Cos=cos(cita);
		b.clear(); 
		b[0][0]=Cos; b[0][1]=Sin;
		b[1][0]=-Sin; b[1][1]=Cos;
		b[2][0]=Sin*y-Cos*x+x;
		b[2][1]=-Cos*y-Sin*x+y;
		b[2][2]=1;
		s=s*b; 
	} else if(c=='L'){
		scanf("oop(%d)\n",&t);
		b=dfs(); s=s*pow(b,t);
	}
	goto begin;
}
int n;
int main(){
    freopen("transform.in","r",stdin);
    freopen("transform.out","w",stdout);
	scanf("%d\n",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		s[i].init(1,3);
		scanf("%lf%lf\n",s[i][0],s[i][0]+1);
		s[i][0][2]=1;
	}
	A.init(3,3); A=dfs();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		s[i]=s[i]*A;
		printf("%.4lf %.4lf\n",s[i][0][0],s[i][0][1]);
	}
}