像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系

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#计算机视觉

于 2022-10-04 17:39:27 首次发布

本文详细介绍了像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系及世界坐标系之间的转换原理。阐述了不同坐标系之间的数学关系，并通过矩阵形式展示了这些转换的具体实现。

像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系

文章目录

- - - 像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系、世界坐标系
    - - 1、图像坐标系 $\rightarrow$ 像素坐标系
        2、图像坐标系 $\rightarrow$ 相机坐标系
        3、相机坐标系 $\rightarrow$ 世界坐标系
        总结
        References

上周发现对这四个坐标系之间的转换没有一个清晰的概念，这个下午写第一篇博客重新学习记录一下。

在这里插入图片描述

图片来源：《视觉SLAM十四讲》第二版P91

1、图像坐标系 $\rightarrow$ 像素坐标系

像素坐标系通常的定义方式是：原点 $o^{'}$ 位于图像的左上角， $u$ 轴向右与 $x$ 轴平行， $v$ 轴向下与 $y$ 轴平行。

图像坐标系在这里指的是成像平面坐标系，在《视觉SLAM十四讲》中像素坐标系和图像坐标系是一样的（第一版 P72）。

在这里插入图片描述

像素坐标系与图像坐标系之间相差了一个缩放和平移，由此图像坐标系 $P^{'}$ 的坐标 $[X^{'}, Y^{'}]$ 与像素坐标 $[u, v]$ 的关系为：
$\begin{cases} u=\alpha X'+c_x \\ v=\beta Y'+c_y \end{cases}$

2、图像坐标系 $\rightarrow$ 相机坐标系

由于三角形相似关系有（去掉负号）：
$\over f} = {X \over {X'}} = {Y \over {Y'}}$
所以式(1)变为：
$\begin{cases} u=f_x {X \over Z}+c_x \\ v=f_y {Y \over Z}+c_y \end{cases}$
转换为矩阵形式为：
$\left(\begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array}\right)={1 \over Z} \left(\begin{array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) \triangleq \boldsymbol{{1 \over Z}KP}$

$Z\left(\begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} X \\ Y \\ Z \end{array}\right) \triangleq \boldsymbol{KP}$

其中， $K$ 为内参数矩阵（Camera Intrinsics）。

3、相机坐标系 $\rightarrow$ 世界坐标系

在齐次坐标下，相机坐标和世界坐标的关系为
$p_c=T_{cw}p_w=T_{wc}^{-1}p_w$
在非齐次坐标下，相机坐标和世界坐标的关系为
$P_c=RP_w+t$
其中，相机的位姿 $R ， t$ 称为相机的外参数矩阵（Camera Extrinsics）。

所以式(4)转化为
$Z{P_{uv}} = Z\left[ {\begin{matrix} u \cr v \cr 1 \cr \end{matrix} } \right] \triangleq \boldsymbol{KP} = \boldsymbol{K(R{P_w} + t) = KT{P_w}}$
注意最后一个式子隐含了一次其次坐标到非齐次坐标的转换。