向量积的性质

面积

两不共线向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的向量积的模，等于 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为边所构成的平行四边形的面积

共线

两向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线的充要条件是 $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$

反交换

向量积是反交换的，即

$$\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$$

结合律

向量积满足关于数因子的结合律，即
$$\lambda (\vec{a}\times \vec{b})=(\lambda \vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (\lambda \vec{b})$$

分配律

向量积满足分配律，即

$$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$$

三维向量的向量积

如果 $\vec{a}=X_1\vec{i}+Y_1\vec{j}+Z_1\vec{k},\vec{b}=X_2\vec{i}+Y_2\vec{j}+Z_2\vec{k}$，那么

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ X_1& Y_1& Z_1\\ X_2& Y_2& Z_2\end{array}\right|$$

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2021年10月17日22:10:30