常用 Jacobi 行列式 | 重积分变量替换

最新推荐文章于 2023-06-17 21:54:33 发布

原创最新推荐文章于 2023-06-17 21:54:33 发布 · 4.7k 阅读

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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这篇内容详细介绍了各种坐标变换，包括二维的极坐标变换和三维的柱面、球面坐标变换，以及它们的广义形式。通过这些变换，可以更好地理解和操作不同维度的空间几何问题。

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二维

极坐标变换：

${x=rcos⁡θy=rsin⁡θ∂(x,y)∂(r,θ)=r\left\{\begin{aligned} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{aligned}\right.\qquad \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r$

广义极坐标变换：

${x=arcos⁡θy=brsin⁡θ∂(x,y)∂(r,θ)=abr\left\{\begin{aligned} x&=ar\cos\theta\\ y&=br\sin\theta\end{aligned}\right. \qquad \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=abr$

三维

柱面坐标变换

${x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=z∂(x,y,z)∂(r,θ,z)=r\left\{\begin{aligned} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta\\ z&=z \end{aligned}\right. \qquad \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}=r$

球面坐标变换

${x=rsin⁡φcos⁡θy=rsin⁡φsin⁡θz=rcos⁡φ∂(x,y,z)∂(r,φ,θ)=r2sin⁡φ\left\{\begin{aligned} x&=r\sin\varphi\cos\theta\\ y&=r\sin\varphi\sin\theta\\ z&=r\cos\varphi \end{aligned}\right. \qquad \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin\varphi$

广义球面坐标变换

${x=arsin⁡φcos⁡θy=brsin⁡φsin⁡θz=crcos⁡φ∂(x,y,z)∂(r,φ,θ)=abcr2sin⁡φ\left\{\begin{aligned} x&=ar\sin\varphi\cos\theta\\ y&=br\sin\varphi\sin\theta\\ z&=cr\cos\varphi \end{aligned}\right. \qquad \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=abcr^2\sin\varphi$