导函数不连续的例子

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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博客讨论了函数f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0处的导数。通过极限计算得出f(x)在x=0的左导数和右导数分别为0，但右导数不连续，显示了第二类间断点特性。此外，还给出了函数在x>0和x<0时的导数表达式，并分析了其连续性和导数性质。

函数
$\begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}$

解
$\begin{aligned} f_{-}^{\prime}(0) &=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{0-0}{x}=0 \\ f_{+}^{\prime}(0) &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}-0}{x} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \sin \frac{1}{x}=0 \quad(\text { 因无穷小 } \times \text { 有界量 }=\text { 无穷小 }) \end{aligned}$
所以 $f′(0)=0f^{\prime}(0)=0$ , 当 $x > 0$ 时
$f^{\prime}(x)=\left(x^{2} \sin \frac{1}{x}\right)^{\prime}=2 x \sin \frac{1}{x}+x^{2} \cos \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$
当 $x < 0$ 时, $f′(x)=(0)′=0f^{\prime}(x)=(0)^{\prime}=0$ , 所以
$f^{\prime}(x)= \begin{cases}2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}$
因此
$f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} 0=0$
$f′(0+)=lim⁡x→0+f′(x)=lim⁡x→0+(2xsin⁡1x−cos⁡1x)f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)$ 不存在（因为 $lim⁡x→02xsin⁡1x=0\lim _{x \rightarrow 0} 2 x \sin \frac{1}{x}=0$ , 而 $lim⁡x→0cos⁡1x\lim _{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x}$ 属于振荡不存在）.

因为在 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ 上 $f′(x)f^{\prime}(x)$ 都存在, 所以 $f (x)$ 在 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ 上连续, 又根据 $f′(x)f^{\prime}(x)$ 的表达式，显然当 $\neq 0$ 时, $f′(x)f^{\prime}(x)$ 连续, 而 $x = 0$ 是 $f′(x)f^{\prime}(x)$ 的第二类振荡间断点.