用导函数的图像判断原函数的单调性

前言

用导函数的图像判断原函数的单调性，其本质就是利用$f^{\prime }(x)$的正负，判断$f(x)$的增减； 回顾：符号法则

典例剖析

• 给定$f^{\prime }(x)$的图像，确定$f(x)$的单调性，最简单层次

如图是函数$y=f(x)$的导函数$y=f^{\prime }(x)$的图像，则下面判断正确的是【 \quad 】

$A.$在区间$(一2,1)$上$f(x)$是增函数;

$B.$在区间$(1,3)$上$f(x)$是减函数;

$C.$在区间$(4,5)$上$f(x)$是增函数;

$D.$当$x=2$时，$f(x)$取到极小值

分析：本题目考查对导函数的图像的解读能力，和应用图像的意识；

由于在$(4,5)$上，有$f^{\prime }(x)>0$恒成立，故$f(x)$是增函数，故选$C$.

• 用图像确定$f^{\prime }(x)$的正负，确定$f(x)$的单调性，

【2017聊城模拟】已知函数$y=x{f}^{\prime }(x)$的图像如图所示(其中$f^{\prime }(x)$是函数$f(x)$的导函数)，则下面四个图像中，$y=f(x)$的图像大致是【】

分析：由图可知，

当$x<-1$时，$y<0$，故由符号法则可知$f^{\prime }(x)>0$；

当$-1<x<0$时，$y>0$，故由符号法则可知$f^{\prime }(x)<0$；

当$0<x<1$时，$y<0$，故由符号法则可知$f^{\prime }(x)<0$；

当$x>1$时，$y>0$，故由符号法则可知$f^{\prime }(x)>0$；

从而可知当$x<-1$时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)\nearrow$；

当$-1<x<1$时，$f^{}$