每日一题/011/线性代数/高等代数/两个上三角矩阵的乘积还是上三角矩阵

题目：
证明：两个 $n$ 级上三角矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的乘积仍为上三角矩阵，并且 $AB$ 的主对角元等于 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的相应主对角元的乘积

---

设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$,$\mathbf{B}=(b_{ij})$ 都是 $n$ 级上三角矩阵，则
$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{B}(m;l)& =\sum _{i=1}^n{a}_{mi}{b}_{il}\end{array}$$

对于 $m>l$ 的情况

当 $i<m$ 时, $a_{mi}=0$, 则 $a_{mi}{b}_{il}=0$
当 $i=m$ 时, $b_{il}=0$, 则 $a_{mi}{b}_{il}$ =0
当 $i>m$ 时, $b_{il}=0$, 则 $a_{mi}{b}_{il}=0$

这里利用了上三角矩阵的性质，即如果 $\mathbf{A}$ 是对角矩阵，那么当 $i>j$ 时,$a_{ij}=0$

所以,当 $m>l$,$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{B}(m;l)& =\sum _{i=1}^n{a}_{mi}{b}_{il}=0\end{array}$$

所以 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 是一个下三角矩阵

对于 $m=l$ 的情形,

当 $i<m$ 时，$a_{mi}=0$,则 $a_{mi}{b}_{il}=0$
当 $i>m$时, $b_{il}=0$,则 $a_{mi}{b}_{il}=0$

所以，当 $m=l$,

所以,当 $m>l$,$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{B}(m;l)& =\sum _{i=1}^n{a}_{mi}{b}_{il}=a_{mm}{b}_{mm}\end{array}$$

证毕

---

2021年1月5日20:53:00