本文介绍了线性代数中矩阵秩的相关不等式，包括矩阵加法、乘法及特殊矩阵运算下的秩性质，通过具体证明展示了这些不等式的数学依据。
线性代数中一些有关秩的不等式
- 不等式零、矩阵乘以可逆矩阵，矩阵的秩不变
- 不等式一、 r ( A + B ) ⩽ r ( A ) + r ( B ) {\rm r}(A+B)\leqslant{\rm r}(A)+{\rm r}(B) r(A+B)⩽r(A)+r(B)
- 不等式二、如果 A n B n = O A_nB_n=O AnBn=O,那么 r ( A ) + r ( B ) ⩽ n {\rm r}(A)+{\rm r(B)\leqslant n} r(A)+r(B)⩽n
- 不等式三、如果 A n × n 2 = E A_{n\times n}^2=E An×n2=E，那么 r ( A + E ) + r ( A − E ) = n {\rm r}(A+E)+{\rm r}(A-E)=n r(A+E)+r(A−E)=n
- 不等式四、如果 A n × n 2 = A A_{n\times n}^2=A An×n2=A，证明 r ( A ) + r ( A − E ) = n {\rm r}(A)+{\rm r}(A-E)=n r(A)+r(A−E)=n
- 不等式五、设 A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n × m A=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{ij})_{n\times m} A=(aij)s×n,B=(bij)n×m,证明： r ( A B ) ⩾ r ( A ) + r ( B ) − n {\rm r}(AB)\geqslant {\rm r}(A)+{\rm r}(B)-n r(AB)⩾r(A)+r(B)−n
- 不等式六、任给 A , B , C ∈ P n × n A,B,C\in P^{n\times n} A,B,C∈Pn×n，证明 r ( A B ) + r ( B C ) ⩽ r ( A B C ) + r ( B ) {\rm r}(AB)+{\rm r}(BC)\leqslant{\rm r}(ABC)+{\rm r}(B) r(AB)+r(BC)⩽r(ABC)+r(B)
不等式零、矩阵乘以可逆矩阵，矩阵的秩不变
矩阵与可逆矩阵相乘，相当于对矩阵对一系列初等变换。因为初等变换不改变矩阵的秩，所以乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩。
不等式一、 r ( A + B ) ⩽ r ( A ) + r ( B ) {\rm r}(A+B)\leqslant{\rm r}(A)+{\rm r}(B) r(A+B)⩽r(A)+r(B)
提示： 利用 A , B A,B A,B 和 A + B A+B A+B 的各个列向量组的极大线性无关组间的线性表出关系
证明： 令 A = ( A 1 A 2 ⋯ A n ) , B = ( B 1 B 2 ⋯ B n ) , A i , B j ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) A=(A_1A_2\cdots A_n),B=(B_1B_2\cdots B_n),A_i,B_j(i,j=1,2,\cdots,n) A=(A1A2⋯An),B=(B1B2⋯Bn),Ai,Bj(i,j=1,2,⋯,n)都是列向量. A + B = ( A 1 + B 1 , A 2 + B 2 , ⋯ , A n + B n ) , A+B=(A_1+B_1,A_2+B_2,\cdots,A_n+B_n), A+B=(A1+B1,A2+B2,⋯,An+Bn), 它的每个列向量都可由列向量组 A 1 , A 2 , ⋯ , A n , B 1 , B 2 , ⋯ , B n A_1,A_2,\cdots,A_n,B_1,B_2,\cdots,B_n A1,A2,⋯,An,B1,B2,⋯,Bn 线性表出.又设 A i 1 , A i 2 , ⋯ , A i r A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ir} Ai1,Ai2,⋯,Air 及 B j 1 , B j 2 , ⋯ , B j s B_{j1},B_{j2},\cdots,B_{js} Bj1,Bj2,⋯,Bjs 分别式 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1,A2,⋯,An 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B n B_1,B_2,\cdots,B_n B1,B2,⋯,Bn 的极大线性无关组，则 A 1 + B 1 , A 2 + B 2 , ⋯ , A n + B n A_1+B_1,A_2+B_2,\cdots,A_n+B_n A1+B1,A2+B2,⋯,An+Bn 都可由向量组 A i 1 , A i 2 , ⋯ , A i r , B j 1 , B j 2 , ⋯ , B j s A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ir},B_{j1},B_{j2},\cdots,B_{js} Ai1,Ai2,⋯,Air,Bj1,Bj2,⋯,Bjs线性表出. 故
r ( A + B ) = r { A 1 + B 1 , A 2 + B 2 , ⋯ , A n + B n } ⩽ r { A i 1 , A i 2 , ⋯ , A i r , B j 1 , B j 2 , ⋯ , B j s } ⩽ r + s = r A + r B (1) \begin{aligned} {\rm r}(A+B)&=r\{A_1+B_1,A_2+B_2,\cdots,A_n+B_n\}\\ &\leqslant r\{A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ir},B_{j1},B_{j2},\cdots,B_{js}\}\\ &\leqslant r+s\\ &={\rm r}{A}+{\rm r}{B}\tag{1} \end{aligned} r(A+B)=r{
A1+B1,A2+B2,⋯,An+Bn}⩽r{
Ai1,Ai2,⋯,Air,Bj1,Bj2,⋯,Bjs}⩽r+s=rA+rB(1)</
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
765
到【灌水乐园】发言
